円関連の面積

質問

図のような半径２の半円があり、円の中心Oから直径に対して垂線を引き、円弧と交わる。
ＯＡ＝１、ＯＢ＝√２のとき、斜線部分の面積を求める問題なんです。
２つの弦は直径と平行です。

初級公務員試験の模擬試験問題なんですが、定積分を使わずに解く法方がわかりません。

なお定積分（置換積分）にて、解答は１＋π/6 － √3/2　となり、正解だとわかっています。

積分を使わずに、計算可能なのでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.4

staratras · ベストアンサー

下の図のように定めます。x、y、z、wはそれぞれの面積を示します。

∠BOB'=45度、∠BOA'=60度　だから∠B'OA'=15度です。
△OBB'と△OAA'はそれぞれ三角定規の形で、求めたいのはx+yまたは2(x+y)です。
お示しの解答の数値はx+yを、お示しの図示は2(x+y)を表わしています。

x+z=△OBB'=(√2・√2)/2=１　　…（１）

z+w=△OAA'=(1・√3)/2=√3/2　　…(２）

y+w=扇型OA'B'=π・2^2・15/360=π/6 …（３）

　(1)+(3)-(2)より

x+y=1+π/6-√3/2　【2(x+y)ならこの2倍です。】

お礼

ご回答ありがとうございます。
丁寧な回答により理解しました。

補足

質問文中の正解が間違っておりました、表記の２倍でした。
訂正いたします。

回答No.5

info222_

弓形面積S1=2*2*π*(120/360)-(1/2)*1*2 √3=(4/3) π- √3
弓形面積S2=2*2*π*(90/360)-(1/2)*( √2)*(2 √2)=π-2
S=S1-S2=(π/3)+2-√3 ... (Ans.)

回答No.3

kagakusuki

今仮に、点Aを中点としている水平な弦の両端の点を点C、点Dとし、点Bを中点としている水平な弦の両端の点を点E、点Fとする事にします。
　それら点C、点D、点E、点Fの4点から、それぞれOに向かって補助線を引いて下さい。

>半径２の半円
>ＯＡ＝１、ＯＢ＝√２

という条件なのですから、OC=OD=OE=OF=2であり、この事から
OC:OA=OD:OA=2:1
という事になり、直角三角形において長さの比が2:1になる斜辺と別の辺に挟まれている内角の角度は60°になるのですから、
∠AOC=∠AOD=60°
∠COD=60°×2=120°
中心角が120°で半径が2の扇形の面積は
π×2^2×120°/360°=4π/3
一方、⊿AOCと⊿AODの面積の合計は
OA×OC=OA×OD=1×(√3)/2=(√3)/2
なのですから、弧CDと弦CDで囲まれた部分の面積は4π/3-(√3)/2になります。

同様に
OE:OB=OF:OB=2:√２=√２:1
という事になり、直角三角形において長さの比が√２:1になる斜辺と別の辺に挟まれている内角の角度は45°になるのですから、
∠BOE=∠BOF=45°
∠EOF=45°×2=90°
中心角が90°で半径が2の扇形の面積は
π×2^2×90°/360°=π
一方、⊿BOEと⊿BOFの面積の合計は
OB×OE=OB×OF=√２×√2=2
なのですから、弧EFと弦EFで囲まれた部分の面積はπ-2になります。
　従って弦CDと弧CEと弦EFと弧DFで囲まれた部分の面積は
4π/3-(√3)/2-(π-2)=π/3+2-(√3)/2
になります。

お礼

ご回答ありがとうございます。
丁寧な回答により理解しました。

補足

質問文中の正解が間違っておりました、表記の２倍でした。
訂正いたします。

回答No.2

f272

#1です。

絵を貼り付けるのを忘れました。

お礼

ご回答ありがとうございます。
丁寧な回答により理解しました。

補足

質問文中の正解が間違っておりました、表記の２倍でした。
訂正いたします。

回答No.1

f272

三角形OBE=1
扇型OCE=π/2
三角形OAD=√3/2
扇型OCD=π/3
求める面積=((三角形OBE)+(扇型OCE)-(三角形OAD)-(扇型OCD))*2=(1+π/2-√3/2-π/3)*2=2-π/3-√3

お礼

ご回答ありがとうございます。
丁寧な回答により理解しました。

補足

質問文中の正解が間違っておりました、表記の２倍でした。
訂正いたします。