数列の解答ですが、全く、わかりません

質問

a１=０ a２=１ a n ＋ a n-１ -２a n-２ = ２のn-２乗を、満たす数列{a n }を a n-１ と、nを使って表せ。
(n= 3 4 5 、、)
ですが、
解答は、{a n ＋ a n-１ - ２ a n-２ }は、公比２の等比数列だから、a n ＋ a n-１ - ２a n-２= ２( a n-１ ＋ a n-２ - ２a n-３ )より、a１=0 a２=１ a３=1 これから、a n - ３ a n-１ ＋ ２a n-２= - ２( a n-１ - ３a n-２ ＋ ２a n-３、
a３- ３a２ ＋ ２a１ = -２

a n - ４a n-２ = a n-１ - ４a n-３
a３ - ４a１ = １

１式から
２のn-２乗
２式から
(-２)n-２乗
３式から
１、
３式からa n-２を消去して、
an = a n-１ ＋ ２のn-３乗{１＋(-１)n乗}
と、
an=-２a n-１ ＋ ２のn-１乗 - １ですが、全く、わかりません。宜しくお願いします。

回答No.4

jcpmutura · ベストアンサー

1=(-1)^2
だから

(-1)^(n-2)
=(-1)^(n-2)(-1)^2
=(-1)^{n-2+2}
=(-1)^n
だから

a(n)
=a(n-1)+2^{n-3}{1+(-1)^(n-2)}
=a(n-1)+2^{n-3}{1+(-1)^n}…(答1)

お礼

そうですよね。私の頭の固さに、私も、オドロキです。何度も、ありがとうございます。

回答No.3

jcpmutura

a(n)+a(n-1)-2a(n-2)=2{a(n-1)+a(n-2)-2a(n-3)}…(a)

(a)の両辺に-a(n-1)+2a(n-2)を加えると
a(n)=a(n-1)+4a(n-2)-4a(n-3)…(a1)

(a)の式が公比rの数列の式
a(n)+x*a(n-1)+y*a(n-2)=r{a(n-1)+x*a(n-2)+y*a(n-3)}…(a2)
と変形できるとして
(a2)の両辺に-x*a(n-1)-y*a(n-2)を加えると
a(n)=(r-x)a(n-1)+(rx-y)a(n-2)+ry*a(n-3)
この式と(a1)が同じだとすると
r-x=1
rx-y=4
ry=-4
r=x+1
y=rx-4
(x+1)((x+1)x-4)=-4
(x+1)(x^2+x-4)=-4
x^3+2x^2-3x=0
x(x^2+2x-3)=0
x(x+3)(x-1)=0
x=0.又は.x=-3.又は.x=1
x=1の時は(a)と同じになる
x=-3の時
r=x+1=-2
y=rx-4=(-2)(-3)-4=2
だからこれを(a2)に代入すると
a(n)-3a(n-1)+2a(n-2)=-2{a(n-1)-3a(n-2)+2a(n-3)}…(b)
となる

なお
a(n)=a(n-1)+2^{n-3}{1+(-1)^n}…(答1)
は先ほどの「n=2の時の答えとなりません。」は誤りでした。
n≧2の時
a(n)=a(n-1)+2^{n-3}{1+(-1)^n}…(答1)
は答えとなると訂正します。

この投稿のマルチメディアは削除されているためご覧いただけません。

補足

何度も、すみません。解りました。なるほど、最初から、やると、３式が、出るのですね。
ところが、何度やっても
a(n)=a(n-1)+2^{n-3}{1+(-1)^n}…(答1)

と、ならないのです。{ 1+(-1)の(n-２)乗
になるのでが。
{ }の中だけ、違うのですが、。
あとは、うまくいきました。ありがとうございます。これでも、正解なのでしょうか

回答No.2

jcpmutura

N=(全自然数)
{a(n)}_{n∈N}
を
a(1)=0
a(2)=1
a(n)+a(n-1)-2a(n-2)=2^{n-2}…(1)
(n=3,4,5,…)
を満たす数列
とする
{a(n)+a(n-1)-2a(n-2)}は公比2の等比数列だから、
a(n)+a(n-1)-2a(n-2)=2{a(n-1)+a(n-2)-2a(n-3)}…(a)
より
a(1)=0
a(2)=1
a(3)=1
(a)の両辺に-4a(n-1)+4a(n-2)を加えると
a(n)-3a(n-1)+2a(n-2)=-2{a(n-1)-3a(n-2)+2a(n-3)}…(b)
a(3)-3a(2)-2a(1)=-2
これと(b)から
{a(n)-3a(n-1)+2a(n-2)}は初項-2公比-2の等比数列だから、
a(n)-3a(n-1)+2a(n-2)=(-2)^{n-2}…(2)

(1)+(2)から
2a(n)=2a(n-1)+2^{n-2}{1+(-1)^n}…(c)
両辺を2で割ると
∴自然数n≧3に対して
a(n)=a(n-1)+2^{n-3}{1+(-1)^n}…(答1)

(答1)は「a(n)を a(n-1) と、nを使って表せ(n=3,4,5,…)」の答えとなりますが
n=2の時の答えとなりません。

(b)の両辺に3a(n-1)-6a(n-2)を加えると
a(n)-4a(n-2)=a(n-1)-4a(n-3)
a(3)-4a(1)=1
{a(n)-4a(n-2)}は初項1公比1の等比数列だから、
a(n)-4a(n-2)=1…(3)

(1)*2-(3)から
∴自然数n≧2に対して
a(n)=-2a(n-1)+2^{n-1}-1…(答2)

(答2)は「a(n)を a(n-1) と、nを使って表せ。(n=2,3,4,5,…)」の答えとなります

(c)+(答2)から
3a(n)=2^{n-2}{3+(-1)^n}-1
両辺を3で割ると
∴自然数n≧2に対して
a(n)=[2^{n-2}{3+(-1)^n}-1]/3

補足

又、解答を頂きありがとうございます。
ところで
a)の両辺に-4a(n-1)+4a(n-2)を加えると
ですが、その出所は、どのように、考えるのでしょうか？
宜しくお願いします。まだ、解答には、至っていませんが。

回答No.1

noname#252159

時間がなくてすみません。
下の図のように並べていくと左辺はanとaｎ－１が残り、右辺は等比数列の和で求まります。

補足

ありがとうございます。この解き方は、解るのですが、別解として、提示された解答法が、全く、理解出来ないのです。また、今後も、宜しくお願いします。解らない所が、多いので。