コミック本「賭ケグルイ双」のサイコロゲーム「スリーヒットダイス」の確率論についての疑問

質問

• コミック本「賭ケグルイ双」に登場するサイコロゲーム「スリーヒットダイス」の確率論について疑問があります。
• 特に、「ＤＤＤ」と「ＵＵＵ」の期待値が12回というのはどのような意味なのか理解できません。
• また、「ＵＵＤ」「ＵＤＤ」「ＤＤＵ」「ＤＵＵ」が出るまでの期待値が8回というのですが、他の組み合わせも同じ回数になるのでしょうか。

回答No.3

kanemoto_s

#2です。

前回回答の
＞1-(1/8)^nのような形
は1-(1-1/8)^nの誤りでした。失礼。

＞回答文をよく読み、またネット検索して理解に努めたいと思います。
何か追加で聞きたいことがあれば補足を下さい。

今回はもうちょっと真面目に回答してみます。

・UUUが弱い理由
4回の場合、4回目にUUUで終了する組み合わせは
UUUU　DUUU
のうちDUUUのみ(UUUUは3回目で終了している)、これに対しDUUだと
DDUU　UDUU
の2種類となる。これを一般化すると、n-1回目が
Uの場合はn-1回目で終了しているが、DUUだとn-1回で終了する組み合わせは存在しない。
なのでnを増やしても常にUUUは弱い。
・UDUが弱い理由
5回の場合、5回目にUDUで終了する組み合わせは
UUUDU　UDUDU　DUUDU　DDUDU
のうちUDUDU以外の3種類。これを一般化すると、n-2、n-1回目が
UDの場合はn-2回目で終了しているが、DUUだとn-2回で終了する組み合わせは存在しない。
なのでnを増やしても常にUDUは弱い。

・UUUの確率の一般化
Xuu(n)、Xud(n)、Xdu(n)、Xdd(n)をn回目で終了していない組み合わせの数とする。ここでuu、ud、du、ddは最初がn-1回目、次がn回目の結果である。
また、n回目での組み合わせ総数はS(n)=2^n、n回目で終了する組み合わせ数をX(n)と表記することにする。
n回目に終了する確率をPuuu(n)と表記すると、Puuu(n)=X(n)/S(n)。
n回目までに終了したときのサイコロを振った回数の期待値をNuuu(n)と表記すると、Nuuu(n)=Σ(m=3,n)〔mX(m)/S(m)〕。求める期待値はNuuu=Σ(m=3,∞)〔mX(m)/S(m)〕
これらの数列を初項から考えて一般化していくと、
Xuu(1)=0　Xud(1)=0　Xdu(1)=0　Xdd(1)=0　S(1)=2　X(1)=0　Puuu(1)=0　Nuuu(1)=0
Xuu(2)=1　Xud(2)=1　Xdu(2)=1　Xdd(2)=1　S(2)=4　X(2)=0　Puuu(2)=0　Nuuu(2)=0
Xuu(3)=1　Xud(3)=2　Xdu(3)=2　Xdd(3)=2　S(3)=8　X(3)=1　Puuu(3)=1/8　Nuuu(3)=3/8
Xuu(4)=2　Xud(4)=3　Xdu(4)=4　Xdd(4)=4　S(4)=16　X(4)=1　Puuu(4)=1/16　Nuuu(4)=5/8
Xuu(5)=4　Xud(5)=6　Xdu(5)=7　Xdd(5)=7　S(5)=32　X(5)=2　Puuu(5)=1/16　Nuuu(4)=15/16
・・・
Xuu(n)=Xdu(n-1)　Xud(n)=Xuu(n-1)+Xdu(n-1)　Xdu(n)=Xud(n-1)+Xdd(n-1)　Xdd(n)=Xud(n-1)+Xdd(n-1)　S(n)=2^n　X(n)=Xuu(n-1)　Puuu(n)=Xuu(n-1)/2^n　Nuuu(n)=Nuuu(n-1)+nPuuu(n)
最後の式を整理すると、
Xuu(n)=Xuu(n-1)+Xuu(n-2)+Xuu(n-3) Xuu(0)=0 Xuu(1)=0 Xuu(2)=1．．．ネットで調べたところ、トリボナッチ数列と言う特殊な数列らしい。
表計算ソフトのExcelで計算するとNuuu(200)=13.999999。おそらくNuuu=14　でなぜか整数。作者は14と断言しているから証明のやり方まで知っていそう。大学で数学を専攻していれば出てくるのだろうか？（物理数学には多分トリボナッチ数列は出てこなかった。）

・UUDの確率の一般化
Yuu(n)、Yud(n)、Ydu(n)、Ydd(n)をn回目で終了していない組み合わせの数とする。ここでuu、ud、du、ddは最初がn-1回目、次がn回目の結果である。
また、n回目での組み合わせ総数はS(n)=2^n、n回目で終了する組み合わせ数をY(n)と表記することにする。
n回目に終了する確率をPuud(n)と表記すると、Puud(n)=Y(n)/S(n)。
n回目までに終了したときのサイコロを振った回数の期待値をNuud(n)と表記すると、Nuud(n)=Σ(m=3,n)〔mY(m)/S(m)〕。求める期待値はNuud=Σ(m=3,∞)〔mY(m)/S(m)〕

Yuu(1)=0　Yud(1)=0　Ydu(1)=0　Ydd(1)=0　S(1)=2　Y(1)=0　Puud(1)=0　Nuud(1)=0
Yuu(2)=1　Yud(2)=1　Ydu(2)=1　Ydd(2)=1　S(2)=4　Y(2)=0　Puud(2)=0　Nuud(2)=0
Yuu(3)=2　Yud(3)=1　Ydu(3)=2　Ydd(3)=2　S(3)=8　Y(3)=1　Puud(3)=1/8　Nuud(3)=3/8
・・・
Yuu(n)=Yuu(n-1)+Ydu(n-1)　Yud(n)=Ydu(n-1)　Ydu(n)=Yud(n-1)+Ydd(n-1) 　Ydd(n)=Yud(n-1)+Ydd(n-1)　S(n)=2^n　Y(n)=Yuu(n-1)　Puud(n)=Yuu(n-1)/2^n　Nuud(n)=Nuud(n-1)+nPuud(n)
簡略化すると、
Yuu(n)=Yuu(n-1)+Yuu(n-2)+1 Yuu(1)=0 Yuu(2)=1
Excelで計算するとNuud(90)=7.999999　おそらくNuud=8　こちらもなぜか整数。

・UDUの確率の一般化
同様に
Zuu(1)=0　Zud(1)=0　Zdu(1)=0　Zdd(1)=0　S(1)=2　Z(1)=0　Pudu(1)=0　Nudu(1)=0
Zuu(2)=1　Zud(2)=1　Zdu(2)=1　Zdd(2)=1　S(2)=4　Z(2)=0　Pudu(2)=0　Nudu(2)=0
Zuu(3)=2　Zud(3)=1　Zdu(3)=2　Zdd(3)=2　S(3)=8　Z(3)=1　Pudu(3)=1/8　Nudu(3)=3/8
・・・
Zuu(n)=Zuu(n-1)+Zdu(n-1)　Zud(n)=Zuu(n-1)+Zdu(n-1)　Zdu(n)=Zdd(n-1)　Zdd(n)=Zud(n-1)+Zdd(n-1)　S(n)=2^n　Z(n)=Yud(n-1)　Pudu(n)=Zud(n-1)/2^n　Nudu(n)=Nudu(n-1)+nPudu(n)
簡略化するとZud(n)=Zud(n-1)+Zud(n-2)+Zud(n-4)　Zud(0)=0　Zud(1)=0　Zud(2)=1　Zud(3)=2

同様にPudu(150)=9.999999で　UDUの期待値はおそらく10。

計算に使ったExcelシート
http://kanemoto.mydns.jp/~shuuji/chishiki/q9141866.xls

お礼

重ねての詳細かつ丁寧な回答をいただき恐縮しております。

この確率/期待値の問題がこのように難解なものとは知らず簡単に質問してしまいました。
ご協力いただきましたこと誠に感謝いたします。