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ルベーグ測度,直積測度の零集合
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I⊂R^m上の測度をμ1 J⊂R^n上の測度をμ2 I×J⊂R^{m+n}上の測度をμ3 A(x,y) (x∈I,y∈J)を論理式 A(x,y)の否定を -A(x,y) とする (定義1) A(x,y)でないI×Jの要素(x,y)の集合の測度が0 μ3({(x,y)∈I×J|-A(x,y)})=0 の時 A(x,y) a.e ((x,y)∈I×J) という (定義2) A(x,y)でないIの要素xの集合の測度が0 μ1({x∈I|-A(x,y)})=0 の時 A(x,y) a.e (x∈I) といい {A(x,y) a.e (x∈I)}でないJの要素yの集合の測度が0 μ2{y∈J|μ1({x∈I|-A(x,y)})>0}=0 の時 {A(x,y) a.e (x∈I)} a.e (y∈I) という A(x,y) a.e ((x,y)∈I×J) とすると(定義1)から μ3{(x,y)∈I×J|-A(x,y)}=0 だから {(x,y)∈I×J|-A(x,y)}⊂∪_{k=1～∞}(V_k×W_k)⊂I×J k=1～∞に対して μ3(V_k×W_k)=μ1(V_k)μ2(W_k)=0 μ1(V_k)=0又はμ2(W_k)=0 となる区間組{V_k,W_k}_{k=1～∞} がある X0=∪_{μ1(V_k)=0}V_k Y0=∪_{μ2(W_k)=0}W_k X1=∪_{μ1(V_k-X0)>0}(V_k-X0) Y1=∪_{μ2(W_k-Y0)>0}(W_k-Y0) とすると μ1(X0)=0 μ2(Y0)=0 となる k=1～∞に対して μ3(V_k×W_k)=μ1(V_k-X0)μ2(W_k-Y0)=0 だから μ1(V_k-X0)=0又はμ2(W_k-Y0)=0 μ1(V_k-X0)=0のとき μ1(V_k)=0 V_k⊂X0 V_k-X0=φ μ2(W_k-Y0)=0のとき μ2(W_k)=0 W_k⊂Y0 W_k-Y0=φ だから ∪_{k=1～∞}{(V_k-X0)×(W_k-Y0)}=φ ∪_{k=1～∞}{(V_k-X0)×Y0}=∪_{μ1(V_k-X0)>0}(V_k-X0)×Y0=X1×Y0 ∪_{k=1～∞}{X0×(W_k-Y0)}=∪_{μ2(W_k-Y0)>0}{X0×(W_k-Y0)}=X0×Y1 だから ∪_{k=1～∞}(V_k×W_k) =∪_{k=1～∞}{(V_k-X0)∪X0}×{(W_k-Y0)∪Y0} =∪_{k=1～∞}[{(V_k-X0)×(W_k-Y0)}∪{(V_k-X0)×Y0}∪{X0×(W_k-Y0)}∪(X0×Y0)] =∪_{k=1～∞}[{(V_k-X0)×Y0}∪{X0×(W_k-Y0)}]∪X0×Y0 =(X0×Y0)∪(X0×Y1)∪(X1×Y0) だから {(x,y)∈I×J|-A(x,y)}⊂(X0×Y0)∪(X0×Y1)∪(X1×Y0) y∈{y∈J|μ1({x∈I|-A(x,y)})>0} に対して {x∈I|-A(x,y)}×{y}⊂{(x,y)∈I×J|-A(x,y)}⊂(X0×Y0)∪(X0×Y1)∪(X1×Y0) {x∈I|-A(x,y)}×{y}⊂(X0×Y0)∪(X0×Y1)∪(X1×Y0) だから {x∈I|-A(x,y)}⊂X0∪X1 X0∩X1=φ だから {x∈I|-A(x,y)}∩X1=φ を仮定すると {x∈I|-A(x,y)}⊂X0 0<μ1({x∈I|-A(x,y)})≦μ1(X0)=0 となって矛盾するから {x∈I|-A(x,y)}∩X1≠φ だから x1∈{x∈I|-A(x,y)}∩X1 となるx1がある x1∈X1 (x1,y)∈{x∈I|-A(x,y)}×{y}⊂(X0×Y0)∪(X0×Y1)∪(X1×Y0) (x1,y)∈(X0×Y0)∪(X0×Y1)∪(X1×Y0) だから (x1,y)∈X1×Y0 だから y∈Y0 だから {y∈J|μ1({x∈I|-A(x,y)})>0}⊂Y0 だから 0≦μ2{y∈J|μ1({x∈I|-A(x,y)})>0}≦μ2(Y0)=0 だから μ2{y∈J|μ1({x∈I|-A(x,y)})>0}=0 だから(定義2)から ∴ {A(x,y) a.e (x∈I)} a.e (y∈I)
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