数学の質問です。

質問

数学の質問です。
これで定められる数列anの一般項の求め方を教えてください。

回答No.4

atkh404185

特性方程式を解いて両辺に2を足すのってどうやっていますか？
普通に足すと2a(n+1)+2=3a(n)+4になりますがこれだと共通な部分がでてこなくて先へ進めません。

　　　　↓↓↓

もしかして、
2a(n+1)=3a(n)+2　の両辺に　2　をたす。
ということですか？

両辺に　2　をたしたりはしないです。

本来の解き方は、
2a(n+1)=3a(n)+2　の両辺を　2　で割って、
a(n+1)=(3/2)a(n)+1
とします。
これにより、
a(n+1)=(3/2)a(n)+1　（⇦　これで、公比が　3/2　とわかります）
は、等比数列
a(n+1)-Ｃ=(3/2){a(n)-Ｃ} ・・・・・(A)
に変形することができます。
この、Ｃの値を求める方法が、特定方程式　2x=3x+2　です。
これを解いて、　x=-2　なので、これを (A) に代入して等比数列
a(n+1)-(-2)=(3/2){a(n)-(-2)}
つまり、
a(n+1)+2)=(3/2){a(n)+2}　・・・・・(B)
がつくれます。

2a(n+1)=3a(n)+2　のままの式を使えば、
2{a(n+1)+Ｃ}=3{a(n)+Ｃ}
となりますが・・・。両辺を　2　で割れば上の（Ａ）になります。

(B) の式をつくる方法は、
上の方法か、先ほどの回答の　(1)-(2)　を計算する方法だと思います。

回答No.3

atkh404185

特性方程式を解いて両辺に2を足すのってどうやっていますか？
普通に足すと2a(n+1)+2=3a(n)+4になりますがこれだと共通な部分がでてこなくて先へ進めません。

　　　　↓↓↓

特性方程式　2x=3x+2 を解くと　x=-2　だから、
等比数列　a(n+1)-Ｃ=r{a(n)-Ｃ}　に　Ｃ=-2　を代入します。
よって、
a(n+1)-(-2)=r{a(n)-(-2)}
つまり、
a(n+1)+2=r{a(n)+2}
になります。

特性方程式　2x=3x+2 を解いて　x=-2　が求まると、
先ほどの回答の、

　　　　☆　～　☆　の部分ですが、
　　　　2a(n+1)=3a(n)+2　・・・・・・ (1)
　　　　a(n+1)　と　a(n)　を　x　とおいて
　　　　2x=3x+2 を解くと
　　　　x=-2
　　　　になります。すると、 (1) は、
　　　　2(-2)=3(-2)+2　・・・・・・ (2) （⇦　★間違えていました。訂正します。★ ）
　　　　になります。　

つまり、
(1) の式の　a(n+1)　と　a(n)　を　-2　に代えた (2) の式をつくります。
これで、

　　　　(1) - (2) を計算して、
　　　　2a(n+1)-(-2}=3a(n)-3(-2)　（⇦　★ここで、《　+2　》　が消えます。★ ）
　　　　2a(n+1)+2=3a(n)+6
　　　　2{a(n+1)+2}=3{a(n)+2}
　　　　両辺を　2 で割って
　　　　{a(n+1)+2}=(3/2){a(n)+2}
　　　　となります。

(1) - (2) の計算をすることによって、
2a(n+1)=3a(n)+2　の　《　+2　》　が消えることになります。

これで、質問の回答になっていますか？

回答No.2

atkh404185

2a(n+1)=3a(n)+2　・・・・・・ (1)
☆　2x=3x+2 を解くと
x=-2
したがって、 (1) は
2{a(n+1)+2}=3{a(n)+2}
と変形できる。　☆
これより、
{a(n+1)+2}=(3/2){a(n)+2}

したがって、数列 {a(n)+2} は、
初項　a(1)+2=3+2=5、
公比　3/2
の等比数列になる。
よって、
a(n)+2=5×(3/2)^(n-1)
a(n)=5(3/2)^(n-1)-2　・・・・・・ （答）

☆　～　☆　の部分ですが、
2a(n+1)=3a(n)+2　・・・・・・ (1)
a(n+1)　と　a(n)　を　x　とおいて
2x=3x+2 を解くと
x=-2
になります。すると、 (1) は、
2(-2)=3(-2)　・・・・・・ (2)
になります。 (1) - (2) を計算して、
2a(n+1)-(-2}=3a(n)-3(-2)
2a(n+1)+2=3a(n)+6
2{a(n+1)+2}=3{a(n)+2}
両辺を　2 で割って
{a(n+1)+2}=(3/2){a(n)+2}
となります。

2a(n+1)=3a(n)+2　・・・・・・ (1)
のを、
a(n+1)-Ｃ=r{a(n)-Ｃ} ・・・・・・ (3)
と、式変形すると、
初項が　a(1)-Ｃ
公比が　r
の等比数列なります。

(1) の両辺を 2 で割ると
a(n+1)=(3/2)a(n)+1　・・・・・・ (1)'
となり、
r=3/2
がわかります。
Ｃは、 (3) を展開してまとめると、
a(n+1)-Ｃ=(3/2)a(n)-(3/2)Ｃ
a(n+1)=(3/2){a(n)-(1/2)Ｃ ・・・・・・ (3)'
(1)' と (3)' より
-(1/2)Ｃ=1
Ｃ=-2
がわかります。
a(n+1)-(-2)=(3/2){a(n)-(-2)}
つまり、
a(n+1)+2=(3/2){a(n)+2}
になります。

☆印は、　『　Ｃの値　』　を求める方法になります。

補足

回答ありがとうございます。
atkh404185さん、
特性方程式を解いて両辺に2を足すのってどうやっていますか？
普通に足すと2a(n+1)+2=3a(n)+4になりますがこれだと共通な部分がでてこなくて先へ進めません。

回答No.1

bran111

a(1)=3 (1)

2a(n+1)=3a(n)+2 (2)

極限値pが存在するとするとlim(n→∞)a(n+1)=lim(n→∞)a(n)=p

つまり

2p=3p+2 (3)

p=-2 (4)

(2)-(3)

2(a(n+1)-p)=3(a(n)-p)

(4)を代入

2(a(n+1)+2)=3(a(n)+2)

この式は展開すると(2)に戻る。従って極限値の存在の有無によらず成立する。

b(n)=a(n)+2とおくと (5)

2b(n+1)=3b(n)

b(n+1)=(3/2)b(n)=(3/2)^2b(n-1)=....=(3/2)^nb(1)

b(1)=a(1)+2=5 ((1)より）

ゆえに

b(n+1)=5(3/2)^n

b(n)=5(3/2)^(n-1)

(5)より

a(n)=b(n)-2＝5(3/2)^(n-1)-2