2つの放物線で囲まれた面積

質問

2つの放物線y^2=4(x+1)とy^2=8(2-x)で囲まれた面積の求め方を教えてください。

y=4(x+1)とy=8(2-x)ならば分かるのですが。。。

どうすれば良いでしょうか？
回答よろしくお願いします。

回答No.3

atkh404185

2つの放物線y^2=4(x+1)とy^2=8(2-x)で囲まれた面積の求め方を教えてください。

この２つの放物線の 「 ｘ 」 と 「 ｙ 」 を入れ替えて考えてみましょう。

y^2=4(x+1) は

x^2=4(y+1)
y+1=x^2/4
y=x^2/4-1 ・・・・・・（１）

となり、これは、頂点の座標が、点(0，-1) の下に凸の放物線です。

次に、

y^2=8(2-x) は

x^2=8(2-y)
x^2/8=2-y
y=-x^2/8+2 ・・・・・・（２）

となり、これは、頂点の座標が、点(0，2) の上に凸の放物線です。

（１）、（２）の交点の x 座標は

x^2/4-1=-x^2/8+2
3x^2/8=3
x^2=8
x=±2√2

したがって、求める面積は
∫[-2√2，2√2]{(-x^2/8+2)-(x^2/4-1)}dx
=∫[-2√2，2√2]{(-3x^2/8+3)dx
=(-x^3/8+3x)[-2√2，2√2]
=(-2√2+6√2)-(2√2-6√2)
=8√2

となります。

では、この２つの放物線の 「 ｘ 」 と 「 ｙ 」 を入れ替えずに考えてみましょう。

解き方は、上の解き方と同じです。

y^2=4(x+1)
x+1=y^2/4
x=y^2/4-1 ・・・・・・（３）

となり、これは、頂点の座標が、点(-1，0) の右に凸の放物線です。

y^2=8(2-x)
y^2/8=2-x
x=-y^2/8+2 ・・・・・・（４）

となり、これは、頂点の座標が、点(2，0) の左に凸の放物線です。

（３）、（４）の交点の ｙ 座標は

y^2/4-1=-y^2/8+2
3y^2/8=3
y^2=8
y=±2√2

したがって、求める面積は
∫[-2√2，2√2]{(-y^2/8+2)-(y^2/4-1)}dy
=∫[-2√2，2√2]{(-3y^2/8+3)dy
=(-y^3/8+3y)[-2√2，2√2]
=(-2√2+6√2)-(2√2-6√2)
=8√2

となります。

上の《 上の「 ｘ 」 と 「 ｙ 」 を入れ替えた場合 》 と

全く同じ方法で解くことができます。

注意するjことは、

「 ｘ 」 と 「 ｙ 」 を入れ替えた場合は、

『 ｙ は ｘ の関数 』

であるから、 「 ｘ 」 で考える。（ｘ軸（横軸）方向）

ということです。　

だから、入れ替えずに、考える場合は、

『 ｘ　は　ｙ　の関数 』

であるから、 「 ｙ 」 で考える。（ｙ軸（縦軸）方向）

ということです。

ちなみに、放物線（１）、（２）のグラフを

直線 y=x に関して対称移動すると

それぞれ、放物線（３）、（４）のグラフになります。

回答No.2

Willyt

x=f(y)=y^2/4 -1/4
x=g(y)=2-y^2/8

この二つの放物線は　Ｙ=±√6 で交わりますから

面積Ｓ＝∫(g(y)-f(y))dy 積分範囲：-√6～√6　で計算できます。後は御自分でどうぞ。

回答No.1

f272

y^2=4(x+1)からx=(1/4)y^2-1
y^2=8(2-x)からx=(-1/8)y^2+2
また交点は(1,2√2)，(1,-2√2)だから
(囲まれた面積)
=∫[-2√2,2√2]((-1/8)y^2+2)-((1/4)y^2-1)dy
=∫[-2√2,2√2](3-(3/8)y^2)dy
=3*4√2-(1/8)(32√2)
=8√2
いわゆる1/6公式から(1/6)*(1/4+1/8)*(4√2)^3でも計算できる。