数学の漸化式の例題です。 緑の矢印のところ、どう考

質問

数学の漸化式の例題です。 緑の矢印のところ、どう考えたらxが分かるんですか？

回答No.2

bran111 · ベストアンサー

これは強引な意図的な計算方法で

a(n+1)=2a(n)+b(n) (1)
b(n+1)=4a(n)-b(n) (2)

(1),(2)を組み合わせて単純な等比級数化しようとしています・組み合わせは適当な係数xを使って
a(n+1)+xb(n+1)=r[a(n)+xb(n)]　　　　（3）
の形にしようとするわけです。これは組み合わせた結果できる
f(n)=a(n)+xb(n)
という数列を考えると（3）は
f(n+1)=rf(n)
という等比数列になることを目論んでいた以外の何物でもありません。

この目論見が成功するにはxとrが決まればよいということです。
(1)+x(2)を作ると

a(n+1)+xb(n+1)=(2+4x)a(n)+(1-x)b(n)=(2+4x){a(n)+[(1-x)/(2+4x)]b(n)}
=r[a(n)+xb(n)]

を成立させればよいということです。

従って、

r=2+4x　　　　　　　　　　　　　（４）
x=(1-x)/(2+4x)　　　　　　　　　　（５）

が同時に成り立てばよい。それは難しくなくて
(5)より　ｘ＝1/4, -1、(4)より　r=3, -2　という2組が決まります。
これらをx1,x2,r1,r2で表して一般性のある計算をしてみます。つまり(3)より
a(n+1)+x1b(n+1)=r1[a(n)+x1b(n)]＝r1^n[a(1)+x1b(1)]=c1r1^n　（6）
a(n+1)+x2b(n+1)=r2[a(n)+x2b(n)]=r2^n[a(n)+x2b(n)]=c2r2^n　　(7)

a(1)=1,b(1)=0が与えられているので
c1=a(1)+x1b(1)]＝1
c2=a(1)+x2b(1)]=1
が具体的に決まります。
(6),(7)から(6)x2-(7)x1を作ると
a(n+1)=c1x2r1^n-c2x1r2^n
となってa(n)が確定し、
(6)-(7)より
b(n+1)=(c1r1^n-c2r2^2)/(x1-x2)
が決まります。

回答No.3

178-tall

たとえば、参考 URL を眺めてください。

§3 の諸命題が参考になりそう…。

参考URL：

http://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/78/78-2.pdf

回答No.1

info222_

{a[ ]+kb[ ]} 等比数列化するということは
[1] a[ ]とb[ ]の係数の比(1:x)がnに関係なく同じであること
つまり　1:x=1:(1-x)/(2+4x) ⇒ x=(1-x)/(2x+4x)=k
定数xを「x=(1-x)/(2+4x)」を満たすように決めてやること
それには 2x+4x^2=1-x → 4x^2+3x-1=(4x-1)(x+1)=0 → x=1/4 or -1
とxをk=1/4 or -1 という定数に選べばいいということです。

[2]このとき等比級数{a[ ]+kb[ ]}の公比rはそれぞれ
r=2+4x=3 or -2
と定数なります。

つまり
a[n]+(1/4)b[n]=3{a[n-1]+(1/4)b[n-1]}=3^(n-1){a[1]+(1/4)b[1]}=3^(n-1)
or
a[n]-b[n]=-2{a[n-1]-b[n-1]}=(-2)^(n-1){a[1]-b[1]}=(-2)^(n-1)
ということです。