∫(Ae^(-λt))dt 積分

質問

∫(Ae^(-λt))dtはどうやって計算すればよいでしょうか?

やり方なども教えていただけると助かります。よろしくお願いします。

回答No.3

info222_

No.1です。
ANo.1の補足質問について

指数関数の微分。積分については以下の２つが記憶すべき基本的な知識です。
(1)微分と積分は逆の操作です。
F(x)=∫ f(x)dx ⇔ f(x)=dF(x)/dx=F' (x)
(2)指数関数のe^xは微分しても積分しても同じ関数e^xになります。
d(e^x)/dx=e^x ⇔ ∫ e^x dx=e^x +C
（実は、ネイピア数e, 別称自然対数の底は(2)が成り立つように決められた定数です）

応用として
d(e^(ax))/dx=(e^(ax))d(ax)/dx=ae^(ax) ⇔ ∫ae^(ax) dx=e^ax
これをa=-λとおき x=tとすれば Aを定数として
∫(Ae^(-λt))dt=(-A/λ)e^(-λt)+C ⇔ d((-A/λ)e^(-λt))/dt =Ae^(-λt)
というご質問の積分の式が得られます。

ご理解できました？

回答No.2

bran111

積分は微分の逆です。
微分の結果が∫(　)dtの中に入っています。微分の結果をf(x),元の関数をF(x)とすると

dF(x)/dx=f(x)＝Ae^(-λt)　　　　　　　　　　　　　（1）

です。

G(x)=e^(-λt)

を考えてみましょう。

dG(x)/dx=-λe^(-λt)　　　　　　　　　　　　　　　　（2）

つまり、指数関数e^(-λt)を微分すると元の関数の-λになるということです。

微分積分では指数関数が主役になることが多いです。それはこのような簡単な性格に起因しています。（2）の関係はよく覚えておいてください。(1)と（2）を比較すると

F(x)=A(-1/λ)e^(-λt)

になることが解りますか。

これが求める積分です。積分に伴う不確定分があって、それを積分定数（Ｃで表す。）といい、これを付け加えて表すことになっています。

答え

∫(Ae^(-λt))dt＝A(-1/λ)e^(-λt)+C

確認

右辺を微分して積分の中の関数になることを確認してください。

回答No.1

info222_

単なる指数関数の積分です。

I=∫(Ae^(-λt))dt=(-A/λ)e^(-λt)+C
Cは任意定数。

お礼

回答ありがとうございます。指数関数の積分の決まりということでしょうか？

よろしくお願いします