連立一次方程式の解法の間違い

質問

aを定数とする。
１．x-y+z=2 ２．x-2y+z=1 ３．x+ay-2z=2 　４．x+ay-3z=-1

式１－式２よりy=1 式３ー式４よりz=3
これらを式1に代入してx=0

よってx=0 y=1 z=3 としたら、間違いだといわれました。
どのように解くべきですか？

なお、私は大学生ですので、行列を使っても構いません。

回答No.3

bran111

方程式においては変数と定数はおのずから区別があるはずです。

この場合２つのケースが考えられます。

1）変数はx,y,z、aはパラメターとして定数扱いーこれが最も常識的な扱いです。

この場合は変数３つに対して条件式４つで条件過剰、こういう場合を「不能」といい、解が求められないことを意味します。

2）変数はx,y,z,a

あなたの解x=0, y=1, z=3を（3）または（４）に代入するとa=8

これ自体は未知数４個、方程式4個でユニークな解が決まっています。

これが間違いであるということはaを変数に扱うのではなく、aの値に応じて解はどのように挙動するかというような議論をすることが目的のように思われます。

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。
定数aがいろんな値を取ると考えれば、どうですか？
となりの式に「かぶる」ようなaを選ぶと、解も違ってくるはずです。

回答No.1

noname#212313

> １．x-y+z=2 ２．x-2y+z=1 ３．x+ay-2z=2 　４．x+ay-3z=-1

x-y+z=2　―(1)
x-2y+z=1　―(2)
x+ay-2z=2　―(3)
x+ay-3z=-1　―(4)

　x-y+z=2　―(1)
－x-2y+z=1　―(2)
―――――――――
　　y＝1

　x+ay-2z=2　―(3)
－x+ay-3z=-1　―(4)
――――――――――
　　　z＝3

x-1+3=2　―(1)’　∴x＝0

　x＝0, y＝1, z＝3

　お解きになられた通りです。しかし、文字変数はまだありますね。aです。

　求めたx, y, zを式(3)に適用してみます。

0+a×1-2×3=2　―(3)’　∴a＝8

　念のため、式(4)でも試しておきます。

0+a×1-3×3=-1　―(4)’　∴a＝8

　これで文字変数は全て求められました。

　答：x＝0, y＝1, z＝3, a＝8

> どのように解くべきですか？

　文字変数4つに対し、1次独立な式が4つ与えられています。ですから、文字変数は全て求めるべきです。