(1+A) * (1+B) が最大になるA:B？

質問

(1+A) * (1+B)

この式が最大になる時の、A：Bの比率の求めよ。
（A：B = １：X　のXを数値で求めよ。）

という問題は、数学的に解くことができるのでしょうか？

私はA、Bの大きさを制限する式が無いと「A=無限大、B=無限大」となり、
関係のない無限大同士なので、比率が計算できず、解けないと思うのですが、
友人は解けると言い張ります。

この問題が解けるor解けないのどちらが正解であるのかと、
なぜそうなるのかについて説明して頂けると助かります。

よろしくお願いします。

回答No.4

noname#212313 · ベストアンサー

#2です。

> 証明が略されている部分がちょっと分からないので、自力で検索して調べてみようと思います。

　先ほどの回答をよく考え直すと、途中で間違ってしまっていました。大変申し訳ありません。たとえ、「A：B＝1：X　∴B＝AX」と置いたとしても、A, Bが任意の実数である限り、Xも任意の実数の範囲で考える必要があります。そうなると、

　(1+A) * (1+B)→XA^2+(X+1)A+1

と変形したとしても、Xが任意の実数でよい以上、たとえAの係数が全て0になるようXを矛盾なく定められても、意味がありませんでした。Xをそのように定める、すなわち、Xに制限を加えてよい理由はありません。なまじ、一変数の2次式のようなものに変形できてしまったので、混乱して勘違いしてしまいました。

　AとBという二つの変数が独立に任意である以上、AとXも独立に任意で、なんら制限が加わるわけではありませんでした（二つの独立変数が一つの独立変数になるわけがない）。

　先の回答#2は撤回して、お詫び申し上げます。大変申し訳ありません。

　先ほど#2の「P.S.」では、設問について、

> 式が最小になるようなXなら解けるかもしれませんね。

と申しましたが（この点は間違っていないはず）、設問が別の点で多少違っているとしたら、と考え直す点がありました。

　もし設問が、

>この式が最大になる時の、A：Bの比率の求めよ。

ではなく、

>この式が最大値をもつように、A：Bの比率を定めよ。

であれば、解けるかもしれません。A, Bが「任意の実数A, B」ではなく、ある実数Xを用いて「B＝AX」と表せる関係がA, Bにある場合ということですね。そうだとすると、そのXが満たすべき条件を定めることになります。

　先の回答で、

再掲>　A：B = １：Xより、B＝AXとなります（比は内項の積と外項の積が等しい）。よって、
再掲>　(1+A) * (1+B)＝(1+A) * (1+AX)＝1+AX+A+A^2X＝XA^2+(X+1)A+1

としました。Aに関する2次式ですね。定数、変数を見やすいように、X＝a、A＝xと置けば、「y=ax^2+(a+1)+1」です。xy平面にグラフを描けば、2次式の性質として、2次の項の係数がマイナス、すなわち「a＜0」であれば、上に凸なグラフとなり、最大値を持ちます。

　X＝aと置いたのでしたから、X＜0です。このXは「A：B = １：X」（∴B＝XA）のものですから、AとBの符号が異なればいいということになります。

　ご友人が仰った通りの設問だと、質問者様のお考え通りなのですが、ご友人は最大となるようなA：Bがあると確かにお考えのようです。だとしますと、単なる私の思い付きですが、上記のような可能性もあるかと思い、以上のように訂正・補足致します。

お礼

私の設問の文章がいいかげんな内容のため、色々な場合について説明することになってしまったと思います。すみません。

設問は、
>この式が最大になる時の、A：Bの比率の求めよ。
こっちの方の意味であってます。

友人に聞いてみたところ、　無限 / 無限 = 1になるということを言っていました。
これは別々の無限なので、不定にしかなりませんよね。

解答ありがとうございました。

回答No.3

Mathmi

>A、Bの大きさを制限する式が無いと
確かにそうですね。
なので、勝手に
　「A+B=Mの時」
という条件を加えて計算してみます。

(1+A)(1+B)=(1+A){1+(M-A)}
=1+(M-A+A)+A(M-A)
=1+M+MA-A^2
=-(A-M/2)^2+M^2/4+M+1

以上より、A=M/2の時最大値を取ります。
つまりB=M/2であり、A:B=1:1なので、x=1の時最大値を取ります。

もし勝手に加えた条件がなければ、おっしゃっているように
　(A,B)=(M/2,M/2)の時よりも(M,M)の時の方が値が大きくなり、それよりも(2M,10M)の方が値が大きくなる
と、(A,B)=(無限大,無限大)まで大きくなってしまいます。

お礼

そうなりますよね。

そして、無限大 / 無限大　　は不定なので、答えは出ませんよね。

回答No.2

noname#212313

A, B, Xを実数とします。

>(1+A) * (1+B)
>この式が最大になる時の、A：Bの比率の求めよ。
>（A：B = １：X　のXを数値で求めよ。）

　ある実数Xが存在して、A：B = １：Xとなるとき、(1+A) * (1+B)＝Mなる、最大の数が存在すると仮定します。

　A：B = １：Xより、B＝AXとなります（比は内項の積と外項の積が等しい）。よって、

　(1+A) * (1+B)＝(1+A) * (1+AX)＝1+AX+A+A^2X＝XA^2+(X+1)A+1

と定数Xの1次式を係数とする、変数Aに関する2次式となります。2次式についてはよく知られていますから証明は略しますが、これに最大値が存在するとすれば、Aの係数が全て0である必要があります。従って、

　X＝0　かつ　X＝-1

でなければなりませんが、そのようなXは存在しません。つまり、A：Bの比率は求められません。

P.S.

　式が最小になるようなXなら解けるかもしれませんね。複素数についての設問でしたら、パスします。

お礼

これが聞きたかったことです。

証明が略されている部分がちょっと分からないので、自力で検索して調べてみようと思います。

ありがとうございます！

回答No.1

simotani

無限大*無限大は数学的には成立しますから、数式として成立しています。無限大の(べき乗としての)無限大乗も数学理論では容認します。

補足

私の質問に対する答えをあなたの文章から見つけることはできませんでした。