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微分積分
info222_の回答
- info222_
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(1) y=1+x^2, y'=2x S=2π∫[0,a] y√(1+y'^2)dx =2π∫[0,a] (1+x^2)√(1+4x^2)dx =2π∫[0,a] (1+x^2)(1+4x^2)^(1/2)dx =2π[(15/64)sinh^(-1)(2x)+(1/16)x(4x^2+1)^(3/2)+(15/32)x(4x^2+1)^(1/2)][0,a] =(15π/32)sinh^(-1)(2a)+(aπ/16)(8a^2+17)√(1+4a^2) (2) 体積vは V=π∫[0,a] (1+x^2)^2 dx =π[(1/5)x^5+(2/3)x^3+x][0,a] =πa(15+10a^2+3a^4)/15 質量Mは一定密度をρとすると M=ρV=ρπa(15+10a^2+3a^4)/15 一次モーメントM1は M1=πρ∫[0,a] x(1+x^2)^2 dx =πρ[(1/6)(1+x^2)^3][0,a] =πρ(a^2)(3+3a^2+a^4)/6 重心Gの座標を(xg,0)とすると xg=M1/M =(5/2)a(a^4+3a^2+3)/(3a^4+10a^2+15)
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