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解析学の極限関数の存在を示す問題
endlessriverの回答
1.xが0のとき すべてのnに対して fn(x)=1となる。つまりlim(n→∞)fn(x)=1 2.xが0以外の整数のとき |x|=Nとなる自然数Nが存在する。つまりn>Nとすれば fn(x)=0だから lim(n→∞)fn(x)=0 3.0<|x|<1のとき 任意の自然数Nについて、0<(1-x^2/N^2)<1だから、fn(x)>0は減少数列となり、 下に有界なので収束する。 4.|x|>1かつ|x|が自然数でないとき |x|<Nとなる自然数Nが存在する。n>Nとすると3項と同様の論理で gn(x)=(1-x^2/N^2)×(1-x^2/(N+1)^2)×・・×(1-x^2/n^2) は正の減少数列となり、収束する。 fn(x)=(1-x^2/1^2)×(1-x^2/2^2)×・・・×(1-x^2/(N-1)^2)×gn(x) だから、fn(x)も収束する。 5.結局すべてのxについてfn(x)は収束する。
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お礼
本当にありがとうございます とても助かりました