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数列の問題です。
数列 {1/1,2/2,3/2,4/3,5/3,6/3,7/4,8/4,9/4,10/4,11/5,…} について、 分母がn以下である数の和を求めよ。 よろしくお願いします。
- sorano_yukito
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{1/1,2/2,3/2,4/3,5/3,6/3,7/4,8/4,9/4,10/4,11/5,…} 小グループに分割 {1/1},{2/2,3/2},{4/3,5/3,6/3},{7/4,8/4,9/4,10/4},{11/5,…}, ... n番目の小グループの 要素の分母はn, 要素数はn項、先頭項の分子はn(n-1)/2+1=(n^2-n+2)/2 求める和Sn=Σ[k=1,1] k/1+Σ[k=1,2] (1+k)/2+Σ[k=1,3] (3+k)/3 +Σ[k=1,4] (6+k)/4 + ... +Σ[k=1,n] (n(n-1)/2+k)/n =1/1+5/2+15/3+34/4+ ... +{(n-1)n^2/2+n(n+1)/2}/n =2/2+5/2+10/2+17/2+ ... +(n^2+1)/2 ={2+5+10+17+...+(n^2+1)}/2 =Σ[j=1,n] (j^2+1)/2 ={n(n+1)(2n+1)/6+n}/2 =n(2n^2+3n+7)/12 ...(答)
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