∞と-∞は実は同じものなのですか？

質問

双曲線は面白いですね。
馴染みのある二次曲線の中で唯一、二つの曲線に分かれています。
しかし、数学も専門家たちは、実はこの二つに分かれているように見える双曲線は、我々が見ることができない無限の彼方で繋がっているのだそうです。
どうやったらそんなことがわかるのか、数学の初歩すらろくにわかっていない私などには到底理解できないことですが、それが事実ならますます面白くなりますね。

例えば y=1/x のグラフを考えると、第1象限では xが0に近付くと、yは +∞になります。
また、第3象限では yが0に近付くと、xは -∞になります。
専門家は、この第1象限の上方に無限に伸びる曲線が、実は第3象限の左方向に無限に伸びる曲線が見えないどこかで繋がっていることを知っているそうです。
この双曲線の残る2端も同様に遠方で繋がっているのだそうです。
これってすごく面白いことですが、よくよく考えてみると、何か重大なことが暗示されているような気がませんか？

つまり、∞も-∞、実は同じものなのではないか？という疑念が湧いてくるのです。
そんなことはありませんか？
宇宙がどこまで広がっているのか？
素粒子はクォークから構成されていることまではわかったが、それが本当に最も小さい物質の単位なのか？
大きい方も小さい方も、無限に続いているかのように思えてしまいます。
しかし、それを追求し続けることは、本当は無駄なのではないかと、双曲線の話を聞いていると思えてしまうのです。
実は、宇宙の外側を追求すると、結局ミクロの世界に帰着して、素粒子などよりさらに小さい世界を追求していくと、いつの間にか宇宙の果てに帰着するもではないか？
こんな妄想？ の虜になってしまうのです。
この世の中には、本当は無限なんてものは何一つないのでは？ とも疑ってしまう今日この頃です。
こんなこと考えたことありませんか？
この問題、どう思いますか？
どうでもいいっちゃ、そうなんですけど、よろしければ暇つぶしのタネにでもいかがですか？

回答No.2

Mathmi

まず、－∞と無限小は異なります。
例えば＋∞が右側に限りなく遠い点だとすれば、－∞は左側に限りなく遠い点となります。

浅学なもので、「双曲線の二つの曲線は連続である」という主張は寡聞にして知りませんが、これが現実になったのだとしたら、宇宙の端は反対側の端と繋がっているということになるでしょうね。
メビウスの輪の表面を走り続けるように、まっすぐ移動して元の場所に戻るのでしょう。
クラインの壺ですね。

また、少し話はずれるでしょうが、自分たちの無限大が他者にとっての無限小かもしれない、という題材は、哲学で時折見られます。
小説の話ですが、人間がAIを見て「AIには心がある」「プログラムに心などない」という議論をしている所を見た神々が、「人間には心がある」「肉の塊に心などない」と議論している、というシーンがありました。

どちらにせよ、物理学よりも哲学向けの話ですね。

お礼

ありがとうございました。

補足

宇宙は我々がイメージ可能な３次元や何とかイメージできるかできないかギリギリの４次元で考えるてはいけないようですね。
宇宙の端というのは、３次元の発想ですね。
量子力学の理論、アインシュタインの一般相対性理論は、素晴らしいのですが、ブラックホールなどをきちんと表現できず、そこでこれら両理論を包括する理論として登場したのが超弦理論なのだそうです。
この理論ではブラックホールも表現できるのですが、成立する大前提として宇宙は10次元であることが必要になるそうです。
従って、宇宙は少なくとも10次元以上はある世界になるので、3次元での宇宙の端という考え方は無意味になってしまうようですね。

回答No.1

kamobedanjoh

無限大は、何処まで探っていっても限りの無い大きさの意味ですから、
＋∞も－∞も、端部を求める意味が無いという点で共通しています。
「無限の彼方で繋がっている」という考えは、最早数学の範疇を外れ、哲学の領域に踏み込んだ議論ではないでしょうか。
両端を追求すること自体、無意味な行為、無意味さという点でのみ、繋がりが認められます。
x/0=＋∞、-x/0=－∞
二つの式は数学上は成立しますが、物理的な解として得られた場合には、無意味な値とされ、物理の世界からは排除されます。
その意味で、無限の彼方まで探索することが「無駄骨折り」という点では、「無限の彼方で繋がっている」ことになっても可笑しくはありません。
ヒマツブシの回答です。

お礼

ありがとうございました。

補足

二つに分かれている双曲線が、無限の彼方でつながっているという話は、私の仮説や考えではありません。
数学的に既に証明されているような話をどこかで聞いたことがあります。
考えてみれば、他の二次曲線は、全てひとつながりになっていて、双曲線だけが二つに分かれているのは変ですよね。