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等長写像と測地線の関係について(リーマン幾何学)
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- stomachman
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その本よりこってりしてるかどうかは保証しませんが： Mの点A, Bを両端とする勝手な経路Cを考えます。すると、f(C)はf(A), f(B)を両端とするN上の経路になり、f(C)の道のりは（道のりを出すには局所の計量を経路にそって積分するわけで、そしてfが局所等長なのだから）Cの道のりと同じ。 で、A, Bを両端とする経路Sが測地線であるということは、SはA, Bを両端とするあらゆる経路Cの中で道のりが最短であるってことですから、f(S)はf(A), f(B)を両端とするあらゆる経路f(C)の中で道のりが最短である。だからf(S)は測地線。
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