複雑な連立方程式の解き方について

質問

2a+3b=19・・・1
4b+c=20・・・2
2a+c=6b・・・3

解答を見ると
２－３を先にやるようなのですが、この計算方法がわかりません。
詳しし解説をお願いします。

回答No.5

178-tall · ベストアンサー

>2a+3b=19・・・1
>4b+c=20・・・2
>2a+c=6b・・・3

>解答を見ると　２－３を先にやるようなのですが、この計算方法がわかりません。

「2-3」を先にやると、c を消去できますネ。

3 は 2a-6b+c=0 だから、「2-3」は、
　-2a+10b=20　…4
らしい。

1 と 4 の連立なら、解けるでしょ。

回答No.6

noname#215361

申し訳ありませんが、他の方のの回答は全く見ておりません。
与式をよく見てください。
1と3では2aがそろっているので、式を何倍かせずにそのまま引いて、2aを消すことができます。
同様に、2と3ではcがそろっているので、式を何倍かせずにそのまま引いて、cを消すことができます。
引いた後は、残りの式と考え合わせれば解けます。

回答No.4

ORUKA1951

＞２－３を先にやるようなのですが、
３つの式が独立していたら、どんな順番で行なっても良い。

書き直すと
　2a + 3b 　 = 19
　　　 4b + c = 20
　2a - 6b + c =　0
一見して分かるように、cを消したきゃ (2)-(3)か(3)-(2)、aを消したきゃ(1)-(3)か(3)-(1)、bを消したきゃ(1)を２倍して(3)から引くとか・・

順番や位置を変えなきゃ　a,b,cの記号を書かなくて良いので
　2　 3　 0 = 19　　　　こんなふうに書き直してみる。
　0　 4　 1 = 20　　　　それぞれの位置にa,b,cがある
　2　-6　 1 =　0

回答例と異なるほうを先に・・・・aを先に消そうとすると、(3)-(1)
　2　 3　 0 = 19
　0　 4　 1 = 20
　0　-9　 1 =-19　　(2)を引く

　2　 3　 0 = 19
　0　 4　 1 = 20
　0 -13　 0 =-39　　×(-/13)

　2　 3　 0 = 19　　-(3)×3
　0　 4　 1 = 20　　-(3)×4
　0　 1　 0 =　3　　　　　　最初にcが決まったね。

　2　 0　 0 = 10　　×1/2
　0　 0　 1 =　8
　0　 1　 0 =　3

　2　 0　 0 = 10　　×1/2
　0　 0　 1 =　8
　0　 1　 0 =　3

　1　 0　 0 =　5　　　　a = 5
　0　 0　 1 =　8　　　　c = 8
　0　 1　 0 =　3　　　　b = 3

※今度は回答例のように(2)-(3)を引いて見る。
　2　 3　 0 = 19
　0　 4　 1 = 20　　-(3)
　0　-9　 1 =-19

　2　 3　 0 = 19
　0　13　 0 = 39　　×1/13
　0　-9　 1 =-19

　2　 3　 0 = 19　　-(2)× 3
　0　 1　 0 =　3　　　　　　　最初にbが決まった。
　0　-9　 1 =-19　　+(2)×9
・・・【中略】・・・

　何からはじめても解けます。色々試して見ましょう。一般的には、
aとbの式
bとcの式
a,b,cの式
の場合は、[a,b,cの式]の式から[aとbの式][bとcの式]を加減して一つにするほうが早いです。
　2　 3　 0 = 19
　0　 4　 1 = 20
　2　-6　 1 =　0　-(1), -(2)

　2　 3　 0 = 19
　0　 4　 1 = 20
　0　-9　 0 = -39　×(-/9)

　2　 3　 0 = 19　　-(3)×3
　0　 4　 1 = 20　　-(3)×4
　0　 1　 0 =　3

　2　 0　 0 = 10　　→ 1　 0　 0 = 5
　0　 0　 1 =　8
　0　 1　 0 =　3

解き方を覚えるのではなく、なぜそう計算するか---未知数を一つにする手段をとる---と言う仕組みを理解すべきです。数学ってそれを勉強するのです。暗記科目じゃない!!!

回答No.3

noname#212313

>2a+3b=19・・・1
>4b+c=20・・・2
>2a+c=6b・・・3

　変数が三つあって、式が三つあるので解けそうな事は分かります。実は変数の数だけ式があれば解けるのです（※解けるか確かめる手段はありますが割愛、テスト・練習問題はたいてい解けるものを出す）。

　もし変数が二つで、式が二つあれば解けます。ですので、与えられた三つの式から、変数を一つ消して、かつ、まだ式が二つ（以上）あれば、消した以外の変数について解けます。

　a,b,cのどれか一つを消せばいいのですが、式3は変数が三つともあります。仮に1と2を使って変数を一つ消しても、式3がそのままでは変数が三つのままです。そこで、式3を何とかしたいと考えることになります。それがこの問題で、まず3を使う理由です。

　式3と他から、a,b,cどれかを消すわけですが、できれば簡単にやりたいですね。式1と式3を見比べると、どちらも2aです。これでやってもいいのです。ちょっとやってみましょう。式3から式2を引いてみます（式2から式3を引いても同じなので、どっちからどっちを引くかは気にしなくて大丈夫）。

　2a+c=6b・・・3
－2a+3b=19・・・1
―――――――――
c-3b=6b-19
∴9b-c=19・・・4

　この式4と式2を見比べると、cが正負異なりますが係数の大きさは等しいです（あるいは、係数が同じで引算と足算の違いだけ）。すると、式2と式4を足せばcが消せると気が付きます（これも先ほどと同じで順序はどっちでもよく、そもそも足し算なので当たり前ですね）。

　4b+c=20・・・2
＋9b-c=19・・・4
―――――――――
13b=39
∴b=3

　bが求まったので、式1に使うとa=5、式2に使うとc=8と求められます。そのa,b,cを式3に使ってみると、きちんと等式がなりたつことが分かります。

　以上のやり方以外に、式2と式3を見ると、cの係数が1で等しいので、式2から式3を引くと（順序は逆でもよい）、cが消せて、引いて得られた式と式1から求めていくこともでき、そうしてみたのが模範解答なのでしょう。一応、そちらでも確かめておきましょう。

>2a+3b=19・・・1
>4b+c=20・・・2
>2a+c=6b・・・3

　4b+c=20・・・2
－2a+c=6b・・・3
――――――――
2a=20-6b
∴2a+6b=20　・・・4
∴a+3b=10　・・・5（両辺が2で割り切れるので、簡単にしてみた）

　式4が求まった時点で、式1と2aが共通なのに気が付き、式1と式4の引き算からbが求まると気が付きます。式4の両辺を2で割った式5と式1を見比べると、こちらは3bが共通なので式1と式5の引き算から、aが求まるということも分かります。

　どちらでもいいです。長くなるので割愛しますが、模範解答と比べてみたり、興味が出れば、実際にやってみてください。

P.S.

　いろいろやり方はあるわけですね。コンピュータプログラムなどで機械的解く場合は、例えばこんなことをします。

>2a+3b=19・・・1
>4b+c=20・・・2
>2a+c=6b・・・3

１．左辺に変数、右辺に定数（ただの数）となるようにします。さらに、a,b,cの順に並ぶようにします。引き算はマイナスの数の足し算にします。

2a+3b=19・・・4
4b+c=20・・・5
2a+(-6)b+c=0・・・6

　このとき、変数が二つの式が二つあれば、まずそれだけで解けますから、解いてしまって残りを求めて終了です。

２．aの係数が1になるよう、それぞれの式で両辺をaの係数で割ってやります。

a+(3/2)b=19/2・・・7
4b+c=20・・・8
a+(1/2)c+(-3)b=0・・・9

３．aの係数が1のもの式を二つ、上から順番に選んで、引き算してaを消します。この場合、式7（元は式4←式1）と式9（元は式6←式3）です。

　a+(3/2)b+0c=19/2・・・7
－a+(-3)b+(1/2)c=0・・・9
――――――――――――
(9/2)b+(-1/2)c=19/2・・・10

４．変数を一つ消すために３で使った式の残り（２にある）と、３で得られた式を並べてみます。aについて係数が0のものはaごと消します。

4b+c=20・・・8
(9/2)b+(-1/2)c=19/2・・・10

　さっきはaの係数を1になるようにしましたが、今度はbの係数を1にします。手順としては、二つの式、二つの変数で１からやり直すわけです。

　すると、cが求まります。そこからbを求め（１からやり直した式はbとcだけなのですぐにも停まる）、求まったbとcから、aを消す前の式のどれか（式7か式9）でaを求めます。

　このやり方は面倒ですが、手順さえ覚えていれば必ず解けます（※手順通りにできない場合は、求められないことが分かってしまう）。自分では工夫する力はないけど、計算だけはいくら面倒でもやってしまえるコンピュータ向きのやり方です。

　お示しの問題では幸い、式同士の引き算ですぐに変数が一つ消せましたが、そうでないこともあります。そういうときは、一番面倒なこういうやり方が使えます。

　でも、係数が1でなくても、要は同じ係数になれば、式同士の引き算（や足し算）で変数が一つ消せます。1ではなく、係数同士の最小公倍数を考えてもいいわけで、少し慣れると、係数の最小公倍数を使うやり方ででき、人が手計算するときは、たいていそうします。

回答No.2

umigamitaiyo

4b+c=20
2a+c=6b　(-
------------
4b-2a=20-6b移項すると

-2a+10b=20この式と１を足すと…
2a+3b=19　(+
-------------
13b=39
b=3　後はbを代入してa,cを求めればOK!

回答No.1

pannnacottacake

(2)4b-20=-C
(3)2a-6b=-C

4b-20=2a-6

10bー20=2a
(1)-3b+19=2a

10b-20=-3b+19
b=3…

違ってたらすみません(;^_^A