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数I二次関数の問題です
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その二つが原点対称ということは 原点に対して対称に移動するには y=f(x)→-y=f(-x)の変換でできます。 どちらを対称移動させてもよいですが y=-9x^2-2bx+c を移動させると -y=-9(-x)^2-2b(-x)+c 整理すると y=9x^2-2bx-c これと y=a^2x^2-2a(a-2)x-8a が一致すればよいので a^2=9 -2a(a-2)=2b -8a=-c 1つ目の式からa=3,-3 (1)a＝3の時 2つ目の式より b=-3 3つ目の式より c=-24 (2)a=-3の時 b=-15 c=24
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ANo.2とANo.3の回答者です。 度々失礼致します。 昔は確か『標準形』だったと思いますが、現在は『平方完成』というのですね。 また、『2次関数』と算用数字表記をするのが正しいようですね。 頭の体操のつもりで回答してみましたが、時代の流れを感じています。
ANo.2の補足(別解)です。 両式においてx=0とすると y=-8a,y=c これらが原点に関して対称であることから -8a=-c (1)ANo.2と同様にa=3のとき 上の関係からc=24 前式の標準形はANo.2から y=9(x-1/3)^2-25 後式の標準形はbをそのまま残して y=-9(x+b/9)^2+b^2/9+24 前式の軸(x=1/3)と後式の軸(x=-b/9)が原点に関して対称となることから 1/3=b/9→b=3 (2)ANo.2と同様にa=-3のとき (1)と同様にc=-24 前式の標準形はANo.2から y=9(x-5/3)^2-1 後式の標準形は(1)と同様にbをそのまま残して y=-9(x+b/9)^2+b^2/9-24 前式の軸(x=5/3)と後式の軸(x=-b/9)が原点に関して対称となることから 5/3=b/9→b=15
今回が初めての回答になりますので、不慣れな点はご容赦ください。 多少は面倒ですが、二次関数の標準形で話を進めると自分は分かりやすいので、参考になればと思います。 まず、二つの二次関数が原点に関して対称となることから、x^2の係数は絶対値が等しく符号が逆になる よって、a^2=9→a=3,-3 (1)a=3のとき 前式は y=9x^2-6x-24 これを標準形にすると(途中省略) y=9(x-1/3)^2-25 これは下に凸であって x=1/3(これが軸）のとき、極小値y=-25になる この点(1/3,-25)を原点に関して対称移動すると点(-1/3,25)になるので後式の標準形は y=-9(x+1/3)^2+25 これを展開して整理すると y=-9x^2-6x+24 これと与式を比較して -2b=-6→b=3,c=24 (2)a=-3のとき 前式は y=9x^2-30x+24 (1)と同様に標準形にすると y=9(x-5/3)^2-1 これは(1)と同様に下に凸であって x=5/3(これが軸）のとき、極小値y=-1になる この点(5/3,-1)を原点に関して対称移動すると点(-5/3,1)になるので後式の標準形は y=-9(x+5/3)^2+1 これを展開して整理すると y=-9x^2-30x-24 これと与式を比較して -2b=-30→b=15,c=-24
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