逆変換が存在する場合•しない場合

質問

前に質問したのですが良く分からないないので、再び質問します。

逆変換が存在する場合の変換における図形の求め方は、まず変換w=f(z)の逆関数z=f^(-1)(w)を求める。そして、zを消去しwの方程式をつくる。
例
• y=x^2をx軸方向に3, y軸方向に4だけ平行移動せよ。
解法 これは、点(x,y)と点(X,Y)の変換と考えると、X=x+3, Y=y+4と表される。逆変換はx=X-3, y=Y-4 となる。

•y=x^2を原点を中心に(-π/2)だけ回転して得られる曲線の方程式を求めよ
解法 逆変換は(π/2)回転であるから、f^(-1):w=X+Yi →z=x+yi とすると、z=w*(cosπ/2+isinπ/2)と表すことができ、 x+yi=i(X+Yi)=-Y+Xi 実部と虚部を比べるとx=-Y, y=Xとなり、これが逆変換である。

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逆変換が存在しない場合
この場合曲線Aをパラメーター表示し、変換によってAの像のパラメーター表示を作る。そして、パラメーターを消去し、Aの像を求める。

例
• 放物線y=x^2-2x+4上の点をQとし、定点を(4,0)とする。線分AQの中点Pの軌跡を求めよ。
解法 X=(x+4)/2, Y=y/2で定義される変換となる。
y=x^2-2x+4をパラメーター表示すると、x=t, y=t^2-2t+4となり、これをX=(x+4)/2, Y=y/2で移すとX=(t+4)/2, Y=(t^2-2t+4)/2,パラメーターを消去し、 Y=2X^2-10X+14

• 2点A(4,4), B(4, -4)と楕円(x^2/9)+(y^2/4)=1上の点Pを頂点とする三角形ABPの重心Gの軌跡を求めよ。
解法 X=(x+4+4)/3, Y=(y+4-4)/3で定義される変換となる。
(x^2/9)+(y^2/4)=1をパラメーター表示すると、x=3cosθ, y=2sinθとなる。X=(x+8)/3, Y=y/3 で移すと、X=(3cosθ+8)/3, Y=2sinθ/3, パラメーターを消去し、{X-(8/3)}^2+(9/4)Y^2=1 となる。
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質問ですが、『逆変換が存在する時•しない時』というのが具体的にどんな時なのか分かりません。上にいくつか例をあげましたが、前回質問した時にその一つ、y=x^2を原点を中心に(-π/2)回転して得られる曲線の方程式を求める問題について、これは『原点を中心に(-π/2)回転させる変換の逆変換だから逆変換は存在する。』という意見をいただきました。
では、y=x^2という逆変換は存在しないということなのでしょうか?
w=z^2という逆変換は存在しないが、『w=z^2を原点を中心にπ/3回転させた時に得られる方程式を求めよ。』という時は逆変換が存在するのか、このあたりが理解できません。
それから、上の逆変換が存在しない2例ではなぜ逆変換が存在しないのでしょうか?

回答No.1

178-tall · ベストアンサー

>w=z^2という逆変換は存在しない…
　　　↑
変換 z^2 → w では、逆変換 ？ w → ±z 。
つまり、「一意的な」逆変換は存在しない。

>『w=z^2を原点を中心にπ/3回転させた時に得られる方程式を求めよ。』という時は逆変換が存在する…
　　　↑
変換 z*e^(π/3) → w では、逆変換 w → z*e^(-π/3) 。
これは、「一意的な」逆変換。

…という、単純な区別なのでは？

別スレッドにしただけじゃ、ハナシが前進しないと思うけど…。

お礼

回答していただきありがとうございます。ある角度回転したものに対する逆変換と, w=z+(7+4i) から、z=w-(7+4i)とzの値が一つだけ決まる一意的な逆変換を混同していました。

回答No.2

stomachman

> • 放物線y=x^2-2x+4上の点をQとし、定点を(4,0)とする。線分AQの中点Pの軌跡を求めよ。

> 解法 X=(x+4)/2, Y=y/2で定義される変換となる。

ならば
　　x = 2X-4, 　Y = (x^2-2x+4)/2
だから、
　　Y = ((2X-4)^2-2(2X-4)+4)/2
とやればいいじゃん。

> • 2点A(4,4), B(4, -4)と楕円(x^2/9)+(y^2/4)=1上の点Pを頂点とする三角形ABPの重心Gの軌跡を求めよ。

> 解法 X=(x+4+4)/3, Y=(y+4-4)/3で定義される変換となる。


だったら、
　　x = 3X-8, y=3Y
だから、
　　((3X-8)^2/9)+((3Y)^2/4)=1
でいいでしょ。
　どっちの例題もxとXの関係およびyとYの関係がそれぞれ個別の式に分離できていて、しかもそれらは一次式なので、パラメータなんか持ち出す必要はない。

　しかし、もっと一般に、XとYとxとyが混ざった式が2本あって、それらをxやyやXやYについて解こうとしても初等関数では解が書けない（これが「逆変換が存在しない」とおっしゃる語句の意味するところではないかと思うんですが）、という場合には、そう簡単には行かない。この場合、旨いパラメータ表示を見つければ最終的にパラメータを含まない形にまとめられるかも知れないし、いや、どうしてもパラメータを使わないと初等関数では書けない、ということもある。

お礼

おっしゃる通り、上記の問題はパラメーターを使わずに解く事ができますね。また、2つX,x,Y,yを含む式がある場合、確かにこれから各文字について解く事が出来ないので、このような場合はパラメーターを利用し解いた方が良いという事ですね。おそらくこのあたりの事を『一意的な逆変換』は存在しないと言っているのだと思います。

とても参考になりました!!!