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4個のサイコロ
息子(高校生)に聞かれて答えられなかった問題です。 サイコロを4回振って出た目を、振った順に a, b, c, d とすると a <= b <= c <= d となるのは何通りか？ 126 が答えで、地道に数えればこうなることは判るのですが スマートなやり方があるらしいのです。 ＃どうも 9C4 らしい。 ちょっと思いつかないので、ご存知の方、ご教授をよろしくお願いします。
- 中村 拓男（@tknakamuri）
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- staratras
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No..2です。 一般に、mＨn = (m+n-1)Ｃn が成り立ちます。 No.2の言わんとするところは、 題意を満たす順番を考えた組み合わせと、順番を考えない(1から6までの6種類の数字から重複を許して4つ取る場合の）出目の組み合わせは1対1で過不足なく対応するので、場合分けをして考える必要はなく、 6Ｈ4=9Ｃ4＝126 で題意を満たす組み合わせの総数が計算できるということです。
お礼
結局、子供の学参に答えをみつけました。 1~6でa≦b≦c≦d なら重複組み合わせですが 1~9でeくfくgくh なら単なる組み合わせなので9C4 この2つは a=e、b+1=f、c+2=g、d+3 = h という規則で個々の場合を1:1に対応させることができる。 というシンプルなものでした。 私は美しいなと思いましたが 教えにくくて高校では嫌われている証明のようです。 お付き合いありがとうございました。
補足
順番と大小関係で固定すると重複組み合わせになるというのは わかるのです。 なのであとは mHn=(m+n-1)Cn という変換式のスマートな証明の仕方が知りたいのです。 基本的に ANO1 さんのやり方がポピュラーみたいですが もうちょい良い手がないか探してます。 何かわずかな細工で、重複ありを重複なしにできるような 変換があることを公式が示唆しているような気がするのですが 考えすぎでしょうか？ 妙な質問ですいません。
- staratras
- ベストアンサー率41% (1456/3549)
以下のように考えると、題意を満たす組み合わせの総数は、順番を考えない、1から6までの6種類の数字から重複を許して4つ取る場合の出目の総数と同じであることがわかります。 A=1,B=2,C=3,D=4,E=5,F=6とし、例えば1回目1、2回目2、3回目3、4回目4がでた場合をABCD、すべて1が出た場合をA^4で表すことにします。 すべて異なる数の組み合わせの場合、例えば1,2.3.4であれば、題意を満たす順番はABCDだけです。(DCBAなどこれ以外はすべて題意を満たしません) 一部重複する場合、例えば1が2回、2が2回出たのであれば1どうし、2どうしは区別がないので、題意を満たすのはA^2B^2だけです。 すべて重複する場合、例えば6が4回とも出た場合であれば、F^4はもちろん題意を満たします。 つまりどのような場合でも、題意を満たす組み合わせと、順番を考えない(1から6までの6種類の数字から重複を許して4つ取る場合の）出目の組み合わせは1対1で過不足なく対応します。 この異なる6種類のものから重複を許して4つ取る組み合わせの総数は 6Ｈ4=9Ｃ4＝126です。
お礼
なるほど A^4 6通り A^3B 15通り AB^3 15通り A^2B^2 15通り A^2BC 20通り AB^2C 20通り ABC^2 20通り ABCD 15通り 合計 126通り というように分けると確かに楽ですね。 重複組み合わせって記号まで用意されているんですね。知りませんでした。 一般的に mHn = (m+m)Cn が成り立つのでしょうか？
補足
>mHn = (m+m)Cn お礼の補足。タイポです(^^; >mHn = (m+n)Cn
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