n次元ユークリッド空間における偏微分の問題
- n次元ユークリッド空間の部分集合Cの定義と原点の近傍での関数について
- n次元ユークリッド空間における関数の偏微分について
- 具体的な形で関数を表す方法について
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偏微分の問題です。
偏微分の問題です。 nを4以上の自然数とし,n次元ユークリッド空間の部分集合Cを以下で定義する。 C={(x_1,・・・・,x_n);sin(πx_1)+....+sin(πx_n)=0,sin(πx_1)+sin(2πx_2)....+sin(nπx_n)=0} このとき原点(0,...,0)の適当な開近傍において,x_n-1,x_n が x_1,x_2,...x_n-2の関数として あらわせることを示せ。 という問題です。次の小問としてその関数を偏微分せよとあるので,ある程度具体的な形であらわすのだと思うのですが わかりません。 よろしくお願いします。 πは円周率のパイを表します。見にくくて申し訳ありません。
- sakasukys
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逆関数の定理(又は陰関数の定理)を使う練習問題ですね。 逆関数の定理を使うとすれば、次のようになります。 F を次のような n 次元ユークリッド空間から n 次元ユークリッド空間への写像とします。 F(x_1, x_2, ..., x_n) = (y_1, y_2, ..., y_n) ただし、 y_1 = x_1 y_2 = x_2 : y_(n-2) = x_(n-2) y_(n-1) = sin(πx_1)+....+sin(πx_n) y_n = sin(πx_1)+sin(2πx_2)....+sin(nπx_n) さらに、F の関数行列をD(F) とします。 するべき作業は、次の3 点です。いずれも単純計算です。 (1) D(F) を x_1, x_2, ..., x_n の数式で具体的に表す。 (2) D(F) が正則行列であることを示す。 (3) D(F) の逆行列を計算する。 (2) が示されれば、逆関数の定理により、 x_1, x_2, ..., x_n が局所的に y_1, y_2, ..., y_n の関数になることが分かります。この関数をとくに y_(n-1)=0, y_n =0 の部分に限定すれば、それが x_(n-1) と x_n をx_1, x_2, ..., x_(n-2) で表す関数になります。 Fの逆関数の関数行列はD(F) の逆行列です。したがって、(3) の結果を使えば、任意の添え字 i と j に対して、∂x_i/∂y_j が分かります。とくに j≦n-2 のときx_j = y_j ですから、∂x_n/∂x_j や ∂x_(n-1)/∂x_j が分かります。
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- ramayana
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ANo.1 への補足「逆行列を計算してみたのですが,0にならないことが証明できません」について ヤコビ行列 D(F) の左上 n-2 行 n-2 列は、単位行列です。これを I とします。同じく、右上 n-2 行 2 列は、零行列です。これを O とします。さらに、左下 2 行 n-2 列を P、右下 2 行 2 列を Q と置きます。 さて、このような、左上が正方行列で右上が零行列となる行列の行列式は、簡単に計算できて、 det(D(F)) = det(I)det(Q) = det(Q) となります。よって、原点において det(Q) ≠ 0 であることを示せばよいわけです。 「;」で行を区切って、行列 Q を (第1行第1列, 第1行2列; 第2行第1列, 第2行第2列) で表示すると、 Q = (πcos(πx[n-1]), πcos(πx[n]); (n-1)πcos((n-1)πx[n-1]), nπcos(nπx[n])) です。とくに原点おいては cos(πx[n-1]) = cos(πx[n]) = cos((n-1)πx[n-1]) = cos(nπx[n]) = 1 なので、 Q(原点) = (π, π; (n-1)π, nπ) です。よって det(Q(原点)) =π×nπ -π×(n-1)π = π^2 ≠ 0 となります。 ************* ちなみに、後の小問で D(F) の逆行列を使うことになりますが、次のようにしてこれを計算できます。 D(F)^(-1) の左上 n-2 行 n-2 列を R、右上 n-2 行 2 列を S、左下 2 行 n-2 列を T、右下 2 行 2 列を U と置きます。 D(F)D(F)^(-1) = (I, O; P, Q)(R, S; T,U) = (R, S; PR+QT, PS+QU) で、これが単位行列だから、 R = 単位行列 S = 零行列 PR + QT = 零行列 PS + QU = 単位行列 となります。これらから、 T = -Q^(-1)P U = Q^(-1) を得ます。
お礼
集合Cでの話なので行列式が0にならないんですね! ありがとうございました!
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