- ベストアンサー
漸化式に添え字がでる数列の解き方
漸化式に添え字がでる数列( S(n)=Sn-1+n)の解き方を 教えてください。 母関数を使うやり方を試しています。
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
関連するQ&A
- 数列 漸化式
A(n+1)=2A(n)+n (初項A(1)=1) という数列があるとします。 この一般項の形を求めるのに、この漸化式を満たす数列{B(n)}=αn+βを設定して、 この漸化式に代入、恒等式から{B(n)=-n-1}がわかります。 この{B(n)}の式が最初の漸化式を満たすわけですから、 A(n+1)=2A(n)+n B(n+1)=2B(n)+nの両辺を引いて A(n+1)-B(n+1)=2(A(n)-B(n))という等比数列が成り立つので、 A(n)=3*(2のn-1乗)-n-1 となると思うのですが、 ここから質問です。 なぜ最初の漸化式を満たした、B(n)=-n-1 と これまた漸化式を満たしている、A(n)=3*(2のn-1乗)-n-1 が異なっているのでしょうか? 回答お願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数列の和と漸化式について
現在高2です。できれば、かなり混乱してますので、わかりやすく教えていただきたいです。よろしくお願いします。 数列{An}の初項から第n項までの和をSnとする。Sn=1-nAn (n=1,2,3,…)が成り立つとき、この数列の一般項Anを求める。このような問題です。 Sn-S(n-1)=An を使うことは、わかります。 すると、 Sn=1-nAnとS(n-1)=1-(n-1)A(n-1) の、差は、Sn-S(n-1)=-nAn+(n-1)A(n-1)となり、Sn-S(n-1)=An だから、結局この式は、 An=-nAn+(n-1)A(n-1)になるはずです。 現在ここからわかりません。この後、どのように考えて、続けるか全く分からない状態なので、よろしくお願いします。 答えは、An=1/(n+1)n になるみたいです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数IIBの数列の漸化式の問題です。
数IIBの数列の漸化式の問題です。 本当に分からないので、基礎の知識から詳しく教えてもらえるとありがたいです・・・ 1. 数列1,1,4,1,4,9,1,4,9,16,1,4,9,16,25,・・・・・・がある。 この数列の第100項および初項から第100項までの和を求めよ。 2 数列1,2,3,・・・・・,nにおいて次の積の和を求めよ。 (1)異なる2つの項の積の和(n≧2) (2)互いに隣り合わない異なる2つの項の積の和(n≧3) 3 次の条件によって定められる数列{An}の一般項を求めよ。 (1)A1=1 An+1=9-2An (2)A1=1 An+1=4An+3 4 数列{An}の初項から第n項までの和SnがSn=n-Anであるとき、a1,a2,a3および{An}の一般項を求めよ。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 漸化式から数列を求める
数列{an}は、a1=5、an+1=3an+2^(n+1)で定義されている。このときanをnの式で表しなさい。 また、Sn=Σ(k=1~n)akをnを用いてあらわしなさい。 という問題に取り組んでいます。 この形はいままで解いたことがないのですが、「特性方程式」を使う方法で解けるのでしょうか? どのように解けばいいのか教えてください。 宜しくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 漸化式を誰か教えてください
今、漸化式の問題を解いているのですがどうしても分からない問題があるので教えてください。 問題は a(1)=(1/3),【3^(n-1)】a(n+1)=【3^n】a(n)+1(n=1,2,3,…)で定められる数列{a(n)}の初項から第n項までの和をS(n)とする。 このとき、lim【n→∞】S(n)の値は3/4で求めかたが分かりませんので、所々教えてください。 時間があるかた教えていただければ幸いです。 この問題を解くにはb(n)=【3^n】a(n)とすると漸化式が求められるそうなのですが (1) b(n+1)=b(n)+1になるのでしょうか? 【3^(n-1)】a(n+1)はb(n+1)になってしまうの? (2) b(1)=3*((1/3)=1になってしまうの? (3) b(n)=1+(n-1)*1=nの式はどこから現われたのか? (4) a(n)=【n/(3^n)】とSn=Σ(n,k=1) 【k/(3^k)】は何処から現れたのか? (5) S(n)-(1/3)*S(n)は何処から現われたのか? (6) ↑を計算すると(1/3)+(1/3^2)+…+(1/3^n)-【n/(3^(n+1)】 となりますが、どうしてΣ(n,k=1)【n/(3^(n+1)】となるのでしょうか? (7) (【(1/3)*{1-(1/3)n}】/【1-(1/3)】) -n/【3^(n+1)】は何処から現われたのでしょうか? ↑を計算すると(1/2)*【1-(1/3)n】-n/【3^(n+1)】となります。 S(n)=(3/4)*【【1-(1/3)n】】-(3/2)*n/【3^(n+1)】の形にどうしてなるのか分かりません。 (8) ↑の式は(1/3)nのnに∞を代入して0,【3^(n+1)】のnの部分に代入して0になって3/4となるのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
回答ありがとうございます。 S(n)=S(n-1)+nという漸化式は nについて閉じた式では あらわされていません。 私は母関数を使って 数列の一般項を求めたいのです。 まず、数列に対応する母関数を得る 次に、その母関数を変形させて閉じた式を作る。 そして、その閉じた式を冪級数に展開して数列の一般項を発見する という流れで教えて頂けないでしょうか。 ちなみにこの数列は無限です。