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ベクトルの問題の解き方がわかりません

四面体OABCにおいて、線分OAを2:1に内分する点をP、線分OBを3:1に内分する点をQ、線分BCを4:1に内分する点をRとする。 この四面体を3点P、Q、Rを通る平面で切り、この平面が線分ACと交わる点をSとするとき、線分の長さの比AS:SCを求めよ 途中過程も教えてください!!!

  • savo8
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  • yyssaa
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回答No.3

>ベクトルを↑で表します。 見易くするため↑OA=↑a、↑OB=↑b、↑OC=↑cとして、 ↑PQ=↑OQ-↑OP=(3/4)↑b-(2/3)↑a ↑QR=↑QB+↑BR=(1/4)↑b+(4/5)↑BC=(1/4)↑b+(4/5)(↑c-↑b) =-(11/20)↑b+(4/5)↑c SはPQR平面上の点だから、u,vを定数として ↑PS=u↑PQ+v↑QR=u{(3/4)↑b-(2/3)↑a}+v{-(11/20)↑b+(4/5)↑c} =-(2u/3)↑a+{(3u/4)-(11v/20)}↑b+(4v/5)↑c・・・・・(1) 線分の長さの比AS:SC=t:1-t(0≦t≦1)とすると ↑PS=↑PA+↑AS=(1/3)↑a+t↑AC=(1/3)↑a+t(↑c-↑a) ={(1/3)-t}↑a+t↑c・・・・・(2) (1)=(2)から -(2u/3)↑a+{(3u/4)-(11v/20)}↑b+(4v/5)↑c={(1/3)-t}↑a+t↑c ↑a、↑b、↑cは独立だから両辺のそれぞれの係数は等しいので、 -(2u/3)=(1/3)-t、(3u/4)-(11v/20)=0、4v/5=tが成り立ち、 4v/5=tからv=5t/4、(3u/4)-(11v/20)=0に代入してu=11v/15=11t/12 -(2u/3)=(1/3)-tに代入して-(2/3)(11t/12)=(1/3)-t、tを求めると t=6/7、よって、AS:SC=(6/7):(1-6/7)=(6/7):(1/7)=6:1・・・答

その他の回答 (2)

  • info222_
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回答No.2

OP↑=(2/3)OA↑ …(1) OQ↑=(3/4)OB↑…(2) OR↑=(OB↑+4OC↑)/5 …(3) 平面PQR:OP↑+s(OQ↑-OP↑)+t(OR↑-OP↑)  =(1-s-t)(2/3)OA↑+s(3/4)OB↑+(t/5)OB↑+t(4/5)OC↑  =(2/3)(1-s-t)OA↑+((3/4)s+(t/5))OB↑+(4/5)tOC↑ …(4) 線分AC:OA+k(OC↑-OA↑)=(1-k)OA↑+kOC↑ (0≦k≦1) …(5) 線分ACと平面PQRとの交点をSに対して次式が成り立つ。  (2/3)(1-s-t)OA↑+((3/4)s+(t/5))OB↑+(4/5)tOC↑  =(1-k)OA↑+kOC↑ …(6) 移項して  (1/3)(1-3k-2s-2t)OA↑-((3/4)s+(t/5))OB↑   +(1/5)(5k-4t)OC↑=0↑ …(7) これが常に成り立つことから  1-3k-2s-2t=0, (3/4)s+(t/5)=0, 5k-4t=0 …(8) このs,t,kの連立方程式を解けば  s=-2/29, t=15/58, k=6/29 …(9) このkは(5)の0≦k≦1の条件を満たすので Sは線分ACの内分点であることが判る。 (5)右辺に,(9)のkを代入すれば OS↑=(1-k)OA↑+kOC↑=(23/29)OA↑+(6/29)OC↑     =(23OA↑+6OC↑)/29 …(10) (10)の意味するところは内分点の公式によれば 線分AC上の点Sが線分ACを6:23に内分する点であるということである。したがって  AS:SC=6:23 …(答)

回答No.1

図を描いて考えましょう

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