数学の対称式の解き方

質問

x^2-3x-1=0のとき、x^2+1/x^2とx^3+1/x^3を求めよ。

どのように計算したらいいんですか？
教えてください！　お願いします。。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

x^2 - 3x - 1 = 0 ... (1)

x^2 + 1/x^2
= (x - 1/x)^2 + 2 ... (2)
ここで、(1)より、
x^2 - 1 = 3x
x - 1/x = 3であるから、
(2)に代入して、
与式 = 3^2 + 2 = 11

x^3 + 1/x^3
が、
x^3 - 1/x^3
ならば、同じ考え方で解けます。

お礼

ありがとうございます！
助かりました。

回答No.6

Tacosan

素直に
x を求めよう
とは思わないのかなぁ....

回答No.5

asuncion

あ～なるほど。

回答No.4

spring135

x^2+1/x^2とx^3+1/x^3をできるだけxの簡単な式にしてxを代入するのがコツです。

(A)P=x^2+1/x^2

x^2-3x-1=0よりx≠0なのでxで割って

x-1/x=3 (1)

両辺を２乗して

x^2-2+1/x^2=9

P=x^2+1/x^2=11 (2)

(B)Q=x^3+1/x^3

(1)を3乗してもだめ、別の公式

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

を使います。

Q=(x+1/x)(x^2-x*(1/x)+1/x^)=(x+1/x)(x^2+1/x^-1)=10(x+1/x) ((2)を使用）

(1)より

1/x-x=-3

よって

1/x+x=2x-3

Q=10(2x-3)

これ以上簡単にならないのでここにxを代入

x^2-3x-1=0より

x=(3±√13)/2

Q=10(2x-3)=±10√13

回答No.3

info222_

x^2-3x-1=0

二解をa,b (a<0<b)とすると

　a=(3-√13)/2, b=(3+√13)/2
　1/a=2/(3-√13)=2(3+√13)/(9-13)=-(3+√13)=-b
　1/b=-a

解と係数の關係より

　a+b=3, ab=-1 (a<b)

　b-a=√[(b-a)^2]=√[(a+b)^2 -4ab)]=√(9+4)=√13

x=aのとき
　x^2+(1/x^2)=(x+(1/x))^2-2=(a+(1/a))^2-2=(a-b)^2-2=(-√13)^2-2=13-2=11
　x^3+(1/x^3)=(x+(1/x))((x^2+(1/x)^2-1)=(a-b)(11-1)=-10√13
x=bのとき
　x^2+(1/x^2)=(x+(1/x))^2-2=(b+(1/b))^2-2=(b-a)^2-2=(√13)^2-2=13-2=11
　x^3+(1/x^3)=(x+(1/x))((x^2+(1/x)^2-1)=(b-a)(11-1)=10√13

（答）
　x^2+(1/x^2)=11
　x^3 +(1/x^3)=±10√13

回答No.2

asuncion

つまり、
x^3 - 1/x^3
が正しいと仮定すると、
x^3 - 1/x^3
= (x - 1/x)^3 + 3(x - 1/x)
= 3^3 + 3・3
= 36