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フェルマーの最終定理n=3の場合の証明
http://enjoymath.blog71.fc2.com/blog-entry-54.html http://www2.ocn.ne.jp/~mizuryu/toukou/toukou31.html のフェルマーの最終定理n=3の場合の証明 で b=3u(t^2-u^2) bは奇数だからuは奇数となぜいえるのでしょうか uが整数であればuは奇数といえますが, a+ib√3=(t+iu√3)^3 a-ib√3=(t-iu√3)^3 と置くとしているだけで そのような整数t,uが存在するといえるのでしょうか? (なおa,3bは互いに素な整数で a^2+3b^2=c^3 となる整数cがあると仮定します) 整数環Zに 1の3乗根ω=(-1+i√3)/2を付加した拡大環を Z(ω)={j+kω|j,k∈Z} 整数環Zに√-3=i√3を付加した拡大環を Z(√-3)={t+iu√3|t,u∈Z} とすると Z(√-3)⊂Z(ω) Z(√-3)では素因子分解の一意性は成り立ちませんが Z(ω)では(単数の違いを除いて)素因子分解の一意性は成り立ちます。 Z(ω)の素元v,wに対して v=(単数)*wのときw=((単数)^{-1})vとなるので v,wは同一の素因子とみなします。 ただしZ(ω)の単数(乗法逆元をもつ元)は ±1,±ω,1+ω=-ω^2,ω^2=-1-ω の6個となります。 a^2+3b^2=(a+ib√3)(a-ib√3)=c^3 となる整数cがあるとき aと3bが互いに素なので (a+ib√3)と(a-ib√3)はZ(ω)で互いに素となって ω~=ω^2=-1-ωとすると 一意に素因子分解されたcの素因数の内 (a+ib√3)の約数の積を t+iu√3=j+kω (a-ib√3)の約数の積を t-iu√3=j+kω~ とすると a+ib√3=(t+iu√3)^3=(j+kω)^3 a-ib√3=(t-iu√3)^3=(j+kω~)^3 となります。 t+iu√3=(2j-k+ik√3)/2 t=j-(k/2) u=k/2 a=t(t+3u)(t-3u)={j-(k/2)}(j+k)(j-2k) b=3u(t+u)(t-u)=3(k/2)j(j-k) となって uは奇数か奇数/2のどちらかで uが奇数/2ならば kが奇数 tが奇数/2 とはいえますが, t,uが整数であると果たしていえるのでしょうか?
- muturajcp
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「証明のサイトはないでしょうか?」 次のはどうですか。 http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~m-mat/STUDENT/KENKYU2003/okamoto.pdf
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- ramayana
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質問者さんのご指摘がもっともだと思います。引用されたどちらのサイトの「証明」も、不完全に見えます。 有理整数環を Z 、有理数体を Q 、 -3 の平方根をθで表します。Q にθを添加して得られる体を Q(θ) で表します。 ω=(-1+θ)/2 とします。２次体の整数論で知られているように、Q(θ) の代数的整数全体からなる環は、 1 とωで生成される Z 加群です。 よって、上のサイトの記号で a+ib√3=(t+iu√3)^3 と表したとき、 t と u が有理整数のケースのほかに t と u が「奇数/2」のケースも想定されます。後者のケースがあり得ないことが自明と思えないので、証明を完結するためには、後者のケースがあり得ない理由を明示する必要があると考えます。 ただ、初めから i√3 の代わりにωを使えば良かっただけの話かもしれません。
お礼
ご回答ありがとうございます。 どこかに(i√3の代わりにωを使ったような) フェルマーの最終定理n=3の場合の 正しい証明のサイトはないでしょうか?
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お礼
ご回答ありがとうございます そのサイトの a,bが互いに素で、a^2+3b^2=s^3ならば、 a=u(u^2-9v^2) b=3v(u^2-v^2) となるような整数u,vの存在定理 とそれを証明するための補題2～6 の長い証明を現在読解中ですが いずれにしても 整数t,uの存在証明を省略して a+ib√3=(t+iu√3)^3 a-ib√3=(t-iu√3)^3 と置くことは数学的に認められない事がよくわかりました。
補足
Z=(全整数) ω=(-1+√-3)/2 Z(ω)={t+uω|t,u∈Z} λ=1-ω S_0={(x,y,z)|x^3+y^3=z^3,xyz≠0,x,y,zはZ(ω)で2つずつ互いに素} 自然数mに対して, S(m)={(x,y,z,ε)| x^3+y^3=ε(λ^{3m})z^3 ,xyz≠0 ,x,y,z,λはZ(ω)で2つずつ互いに素 ,εはZ(ω)の単数} とする (補1)Z(ω)∋ξ≠0(modλ)の時→ξ=±1(mod9),(証略) (補2)S_0≠φの時→S(m)≠φとなる自然数mが存在する,(証略) (定理)S_0=φ 証) ある自然数mに対して S(m)≠φと仮定すると (x,y,z,ε)∈S(m) が存在する x,λは互いに素だから (補1)から x^3=±1(mod9) y,λは互いに素だから (補1)から y^3=±1(mod9) だから x^3+y^3=(±2.or.0)(mod9=ωλ^4) x^3+y^3=±2(mod9)を仮定すると x^3+y^3=±2≠0=ε[λ^{3m}]z^3=x^3+y^3(modλ^3) と矛盾するから x^3+y^3=0(mod9) x^3+y^3=9ηとなるη∈Z(ω)がある 9=ωλ^4だから ωηλ^4=x^3+y^3=ε[λ^{3m}]z^3 m=1のとき ωηλε^{-1}=z^3 λがzの約数となって λとzが互いに素である事に矛盾するから S(1)=φ m≧2のとき S(m-1)=φと仮定する x^3+y^3=(x+y)(x+yω)(x+yω^2)=(λ^{3m})z^3……(1) (x+y),(x+yω),(x+yω^2)の3つの因数の内 どれかはλの倍数だが これらの3つの因数の内のどれかはλで割れる x+y=0(modλ)→x+yω=(x+y)-yλ=0(modλ) x+yω=0(modλ)→x+yω^2=(x+yω)ω+xλ=0(modλ) x+yω=0(modλ)→x+y=(x+yω)+yλ=0(modλ) x+yω^2=0(modλ)→x+y=(x+yω^2)-yλω^2=0(modλ) だから3つともλの倍数。 どれか1つはλ^2の倍数 x+y=x+yω=0(modλ^2) →yλ=(x+y)-(x+yω)=0(modλ^2)→y=0(modλ) →xλ=(x+yω)-ω(x+y)=0(modλ^2)→x=0(modλ) →x,yが互いに素に矛盾する x+yω=x+yω^2=0(modλ^2) →xλ=(x+yω^2)-(x+yω)ω=0(modλ^2)→x=0(modλ) →yλω=(x+yω)-(x+yω^2)=0(modλ^2)→y=0(modλ) →x,yが互いに素に矛盾する x+y=x+yω^2=0(modλ^2) →xλ=(x+y)-(x+yω^2)ω=0(modλ^2)→x=0(modλ) →yλ(1+ω)=(x+y)-(x+yω^2)=0(modλ^2)→y=0(modλ) →x,yが互いに素に矛盾するから 3つの因数のどれか1つだけλ^2の倍数となる 3つの因数のどれか2つはλだけの倍数で 他の1つはλ^{3m-2}の倍数となる x+yω=0(modλ^{3m-2})の時yとyωを交換し x+yω^2=0(modλ^{3m-2})の時yとyω^2を交換すれば x+y=0(modλ^{3m-2})となる x+y=(λ^{3m-2})κ…………………(2.1) x+yω=λμ…………………(2.2) x+yω^2=λν…………………(2.3) κ,μ,νはλの倍数でない κ,μ,ν∈Z(ω)がある 3つの因数がλ以外の公約数があるならばそれは x+yω-(x+y)=-yλ x+yω^2-(x+yω)ω=xλ の公約数、したがってx,yの公約数になるが x,yは互いに素だから 3つの因数はλ以外の公約数を持たないから κ,μ,νは互いに素 (1)と(2.1)(2.2)(2.3)から κμν=εz^3 だからZ(ω)での素因子分解の一意性から κ,μ,νはそれぞれ立方数又は立方数の同伴数となる κ=-ε1α^3 μ=-ε2β^3 ν=-ε3γ^3 β,γ,αは互いに素でλとも素で,ε1,ε2,ε3は単数となるものがある (2.1)(2.2)(2.3)にこれを代入すると x+y=-ε1(λ^{3m-2})α^3 x+yω=-ε2λβ^3 x+yω^2=-ε3λγ^3 だから A= (1,1,ε1(λ^{3m-2})α^3) (1,ω,ε2λβ^3 ) (1,ω^2,ε3λγ^3 ) X=(x,y,1)^t=((x,y,1)の転置縦ベクトル) とすれば AX=0 X≠(0,0,0)^t だから |A| = |1,1,ε1(λ^{3m-2})α^3|=0 |1,ω,ε2λβ^3 | |1,ω^2,ε3λγ^3 | だから (ω^2-ω)ε1(λ^{3m-2})α^3+(1-ω^2)ε2λβ^3+(ω-1)ε3λγ^3=0 ↓ ε2β^3+ωε3γ^3=(1+ω)ε1(λ^{3(m-1)})α^3 だから δ=ωε3/ε2 δ'=(1+ω)ε1/ε2 とするとδ,δ'は単数で β^3+δγ^3=δ'(λ^{3(m-1)})α^3 β,γはλで割り切れないから(補1)から β^3=±1(mod9) γ^3=±1(mod9) m>1だから δ'(λ^{3(m-1)})α^3=0(modλ^3) だから ±1±δ=0(modλ^3) |δ|=1<3√3=|λ^3| だから δ=±1 γとδγを交換しε'=δ'すると β^3+γ^3=ε'(λ^{3(m-1)})α^3 となって (β,γ,α,ε)∈S(m-1) S(m-1)=φに矛盾するから S(m)=φ ∴任意の自然数mに対して S(m)=φ (補2)からS_0=φ