• ベストアンサー
※ ChatGPTを利用し、要約された質問です(原文:ベクトル解析学の発散divvの問題について)

ベクトル解析学の発散divvの問題について

info22_の回答

  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)
回答No.3

No.1,No.2です。 追加補足です。 >(1)を使って、||X||=1より、V(X)= >x >y >z これは間違いです。 変微分する前に,Vのに||X||=√(x^2+y^2+z^2)=1の関係を代入してはダメです。 divV の(x,y,z)の変化方向 は x^2+y^2+z^2=1を満たす(x,y,z)の変化方向(接平面方向) とは異なるからです。 >まではわかりました。 なので間違ったことを正しいとわかってもらっても意味がありません。間違った知識を正しいと思い込んで、わかったと言って、計算してくれても、間違った結果がでるだけ。

関連するQ&A

  • ベクトル解析ガウスの発散定理の問題がわからないです

    円錐面z^2=x^2+y^2と平面z=1で囲まれる閉曲面をSとする。ベクトル場F=(xz,xyz^2,yz)のS上の面積分をガウスの発散定理を用いて求めよ。 という問題です、詳しく教えていただければ、と思います。(汗

  • ベクトル解析、面積分の問題

    いまいち面積分が理解できていません。微小面素「ds」で学習し始めてることもあり、参考文献が少なく、なかなか理解するのに苦労しています。大学の演習の授業の参考にしたいので、どなたか解答お願いします。 1、曲面;z=1/2x^2-1/2y^2、(x^2+y^2≦1)の面積を求めよ。 2、曲柱面M;x=cosu、y=sinu、z=v、(0≦u≦2π、0≦v≦1)があり、Mの向きは外向き法線方向とする。次の面積分の値を求めよ。          ∬[M](x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy) 3、球面S;x^2+y^2+z^2=1がある。Sの向きは外向き法線方向とする。ガウスの定理を用いて、次の面積分の値を求めよ。          ∬[S](x^3dydz+y^3dzdx+z^3dxdy) 特にヤコビ行列の置き方と、積分区間の設定が理解を妨げています。 よろしくお願い致します。

  • ベクトル解析

    ガウスの発散定理のトコなんですけど・・・ まず直接面積分で求めたいんです。 ΓをR^3の原点を中心とする半径a(>0)の球面の北半球部分とします。 Γ上のベクトル場f=2xyi+2yzj+z^2kなんです。 (i,j,kは単位ベクトル) この場合の極座標表現って、 x→asinθcosφ?  (asinθ)*(acosφ)??? yも同様で、asinθsinφ?   (asinθ)*(asinφ)??? zは・・・まー分かりました^^acosθですよね^^ 回答お願いします。

  • ガウスの発散定理について質問

    xyz空間の原点を中心とし、半径が1の球面をSとします。Sの単位法ベクトルNの方向は、いつもSの内部から外部に向かう―(1)ように選んでおきます。この時、ベクトル場は V(X)= x+2y 3y+4z 5z+6x のS上の面積分 ∫[S]V・dS の値を求めてください。という問題で他の回答者さまに以下のようにご回答いただきましたが、(1)~(3)がわかりません。 質問1(1)はなぜこのベクトルはSの内向きなのでしょうか? 質問2(2)から(3)の途中計算がわかりません。 質問3また(2)の最後はdudvとなっていますが、dxdydzをdudvに変換したのでしょうか?したならどのように変換したのでしょうか? 質問4単位法ベクトルN(u,v)の公式は N(u,v)={1/||xu(u,v)×xv(u,v)||}・xu(u,v)×xv(u,v)とテキストに書かれていますが、なぜ(2)のような式の形なのでしょうか?何か別の公式があるのでしょうか? 途中計算を含めて詳しい解説を宜しくお願いします。 空間の場合のガウスの発散定理より ∫[S]VdS=∫[M]divv・dxdydzより div=∂v1/∂x1+∂v2/∂y+∂v3/∂z(発散の定義)   =1+3+5 =9 (単位球面のパラメーター) X(u,v)= cosu・cosv cosu・sinv sinu Xu(u,v)= -sinu・cosv -sinu・sinv cosu Xv(u,v)= -cosu・sinv cosu・cosv 0 よって外積Xu×Xv= -cos^2u・cosv cos^2u・sinv -2sinu・cosu このベクトルはSの内向きなので、N(u,v)=-(Xu×Xv)となる。-(1) ∫[S]VdS=-9∫[0→2π]∫[0→2π] cosu・cosv cosu・sinv sinu × -cos^2u・cosv cos^2u・sinv -2sinu・cosu dudv―(2) =9∫[0→2π]∫[0→2π]2sin^2u・cosu・dudv―(3) =18∫[0→2π]∫[0→2π]sin^2u・cosu・dudv t=sinuとおくと、dt/du=cosuより、cosudu=dt ∫[0→2π]sin^2u・cosudu =∫[0→1]t^2dt =[t^3/3](0→1) =1/3 ゆえに 18∫[0→2π]1/3dv =∫[0→2π]6dv =[6v](0→2π) =12π(答)

  • 空間におけるガウスの発散定理について

    xyz空間の原点を中心とし、半径が1の球面をSとします。Sの単位法ベクトルNの方向は、いつもSの内部から外部に向かう―(1)ように選んでおきます。この時、ベクトル場は V(X)= x+2y 3y+4z 5z+6x のS上の面積分 ∫[S]V・dS の値を求めてください。という問題で他の回答者さまに以下のようにご回答いただきましたが、(1)~(3)がわかりません。 質問1(1)はなぜこのベクトルはSの内向きなのでしょうか? 質問2(2)から(3)の途中計算がわかりません。 質問3また(2)の最後はdudvとなっていますが、dxdydzをdudvに変換したのでしょうか?したならどのように変換したのでしょうか? 質問4単位法ベクトルN(u,v)の公式は N(u,v)={1/||xu(u,v)×xv(u,v)||}・xu(u,v)×xv(u,v)とテキストに書かれていますが、なぜ(2)のような式の形なのでしょうか?何か別の公式があるのでしょうか? 途中計算を含めて詳しい解説を宜しくお願いします。 空間の場合のガウスの発散定理より ∫[S]VdS=∫[M]divv・dxdydzより div=∂v1/∂x1+∂v2/∂y+∂v3/∂z(発散の定義)   =1+3+5 =9 (単位球面のパラメーター) X(u,v)= cosu・cosv cosu・sinv sinu Xu(u,v)= -sinu・cosv -sinu・sinv cosu Xv(u,v)= -cosu・sinv cosu・cosv 0 よって外積Xu×Xv= -cos^2u・cosv cos^2u・sinv -2sinu・cosu このベクトルはSの内向きなので、N(u,v)=-(Xu×Xv)となる。-(1) ∫[S]VdS=-9∫[0→2π]∫[0→2π] cosu・cosv cosu・sinv sinu × -cos^2u・cosv cos^2u・sinv -2sinu・cosu dudv―(2) =9∫[0→2π]∫[0→2π]2sin^2u・cosu・dudv―(3) =18∫[0→2π]∫[0→2π]sin^2u・cosu・dudv t=sinuとおくと、dt/du=cosuより、cosudu=dt ∫[0→2π]sin^2u・cosudu =∫[0→1]t^2dt =[t^3/3](0→1) =1/3 ゆえに 18∫[0→2π]1/3dv =∫[0→2π]6dv =[6v](0→2π) =12π(答)

  • ベクトル解析の問題が解けません.

    以下の問題の(3)が解けません.以前同じ質問したことがあるのですがのですが,よくわかりませんでした. 答えが(9/2)πということは分かっているのですが,x,y,zの各積分範囲が分かりません.どなたか詳しく解説してください.よろしくお願いします. (x^2)+(y^2)+(z-1/2)^2≦1のz≧0の部分をV,Vの表面をSとし,S上の外向き単位法線ベクトルをnとする.また,Sのうち,z=0の部分をS1,それ以外をS2とする. ベクトル場f=x(y-z)i+y(z-x)j+z(x-y+4)kとする. 1) S1上におけるnを求めよ.S2上の点(1/2,1/2,(1+√2)/2)におけるnを求めよ. 2) S1における面積分∬fndSを求めよ. 3) 体積分∬divfdVを求めよ. 4) S2における面積分∬fndSを求めよ.

  • 大学数学の「空間ベクトル」の解き方がわかりません。

    次の問題が理解できません。どなたか解法をお願いします。 xyz空間の原点を中心とし、半径が1の球面をSとする。Sの単位法ベクトルnの方向は、いつもSの内部から外部に向かうように選んでおく。このとき、ベクトル場v(x)=(3Z 2y x) -実際は縦3行- のS上の面積分∫S v・dS -実際はSは∫の下- の値を求めよ。ガウスの発散定理を使いなさい。 答えは「8Π(パイ)/3」です。解き方のわかる方、解説よろしくお願いします。

  • ベクトル解析の証明問題

    任意の閉曲面をSとする.スカラー場f(r),g(r)に対して,∫[s]{▽f(r)×▽g(r)}・dS=0が成り立つことを示せという問題が出たのですが,発散の定理を用いて∫[V]{▽g(r)・(▽×▽f(r))-▽f(r)・(▽×▽g(r))}としてみたのですが,ここからどうすれば0になるということを示せるのでしょうか・・・? そもそもガウスの発散定理を用いることが間違っているのでしょうか? 問題自体が間違えているということはないですよね・・・?

  • 面積分の問題

    空間ベクトル場f=(x,y,z)において、原点oを中心とする半径aの球面(閉曲面)をSとし、Sで囲まれる領域をVとおく。このとき、ガウスの発散定理 ∬∫divfdV(積分区間はV)=∬f・ndS(積分区間はS)が成り立つことを確認せよ、という問題についてです。 ∬f・ndSを馬鹿正直に解いてみたのですが… 曲面Sの方程式はx^2+y^2+z^2=a^2であることから、 F=x^2+y^2+z^2-a^2=0とすると、 ▽F=(2x,2y,2z) よって曲面Sの単位法線ベクトルをnとすると、 n=1/a(x,y,z)となるので、 ∬f・ndS=∬1/a(x^2+y^2+z^2)・a/√(a^2-x^2-y^2)dxdy ここで極座標変換x=rcosθ,y=rsinθ(0≦r≦a,0≦θ≦2π)を行うと、 ヤコビアンJ=rであることから、 ∬f・ndS=a^2∬r/√(a^2-r^2)drdθ =2πa^3となって、答えの4πa^3に合いません。 自分でもどこを計算ミスしているのか分からなくて、本当に困っています。もちろん、こんな面倒な計算をしなくとも∬f・ndSが求められることは知っているのですが、このやり方でどうしても正しい答えを導きだしたいのです。私の計算にどこか間違いがあると思いますので、どこか教えて下さい。

  • ベクトル解析の問題です

    原点からの距離をr(=|r(↑)|とする.φ(r)=1/rで与えられるスカラー場に関して以下の問に答えよ. (1)スカラー場φ(r)の等位面の外形を図示せよ. (2)▽φ(r)を求めよ (3)(▽^2)φ(r)を求めよ (4)等位面に対する単位法線ベクトルn(r)を求めよ.ただし,単位法線ベクトルの向きは,φ(r)が増加する向きとする (5)φ(r)の方向微係数が最大となる方向の単位ベクトルを求めよ. (6)▽φ(r)の点P(位置ベクトルr_p)から点Q(位置ベクトルr_Q)までの線積分∫[P→Q]▽φ・drを求めよ. (7)原点を中心とする半径aの球を考える.この球表面をSとする.S上での▽φ(r)の面積分∫[S]▽φ・dSを求めよ (1)はφ(r)=1/cとすればx^2+y^2+z^2=c^2となるから半径の異なる球を図示していけばいいのですよね? (2)は計算すると▽φ(r)=-r(↑)/r^3となりましたが,あっていますでしょうか. (3)は0となりました (4)はn=▽φ/|▽φ|として求められますよね?これを計算すると,-r(↑)/rとなりますが,問題には単位法線ベクトルはφ(r)が増加する向きとあります.そのためr(↑)/rとするのか-r(↑)/rとするのかがわかりません.どちらが正しいのでしょうか?またどうすればどちらが正しいのかがわかるのでしょうか (5)nの方向が最大になると思ったのですが,そのまま(4)の答えを用いればよいのでしょうか? (6)これに関してはまったくわかりません,どなたか教えていただけないでしょうか (7)これはガウスの発散の定理を用いて0となりました. これらの解答があっているかどうかが答えがないためわかりません. もし分かる方がいらっしゃいましたら詳しく教えていただけないでしょうか. よろしくお願いします