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記号の意味が・・・

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お礼率 16% (26/154)

  微積の教科書を読んでいた次のような記号が突然でて
きて意味がわからなく困っています。
 1  :=  (イコールの前にセミコロンがつくとただのイコールとどうちがうのですか?)
 2  ヨ
 3  ∀
これら3つについて教えてください。お願いします。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.3
レベル14

ベストアンサー率 57% (1014/1775)

puni2さんのご回答にちょっとだけ補足。

∀x∈R(○○)と∃x∈R(○○)は略記法です。それぞれ正式には
 ∀x(x∈R→○○)  「任意のxについて、もしxがRの要素であるならば○○である。(だから、もしxがRの要素でない場合には、○○であるか○○でないか、どちらでも良い)」
 ∃x(x∈R∧○○)   「あるxが存在して、xはRの要素であって、しかも○○である、そういうxが存在する。」
と書く。こっちのほうが意味がはっきりしてるでしょう?
 また、∀x(∀y(○○)) は ∀y(∀x(○○)) と同じであり、∃x(∃y(○○)) は ∃y(∃x(○○)) と同じですが、∀x(∃y(○○)) と ∃y(∀x(○○))  は全然意味が違うことに注意する必要があります。例えば
∀x(∃y(x∈R→(y=2x∧y∈R)))
これは「どんな実数もその2倍というものが定義されていて、それは実数である」という意味で、もちろん真です。しかし、
∃y(∀x(x∈R→(y=2x∧y∈R)))
となると「どんな実数を2倍しても同じyという値になる、そういう実数yが存在する」という訳で、これは偽ですね。
 さらに、∀x(∃y(○○))では括弧がうるさいので、紛らわしくない限り ∀x∃y○○ のように括弧を省くのが普通ですが、本来括弧があるものと思ってください。∀x,y,z(○○)も本来は∀x(∀y(∀z(○○)))の意味であることはもうお分かりでしょう。

ついでに
X:= Y
については、(古典的かつエレガントな)プログラミング言語ALGOLで導入された記号で、本来は「左辺の変数xの値を強制的にyの値にする」つまり代入を表しています。(このスタイルはPascalなどに伝承されていますね。)これを類推で「xをyで定義する」つまり「右辺の意味を表すために左辺のような略記法を導入する」と読み替えて使うようになったようです。だから、
∀x∈R(○○):=∀x(x∈R→○○)
という訳です。
 ほかにも、左辺を右辺で定義する、ということを示すのに
x≡y
とか(これは合同式と混同しやすい)
=の上に△を載せた記号を使う人もいます。
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その他の回答 (全2件)

  • 回答No.1
レベル8

ベストアンサー率 29% (9/31)

詳しくは参考URLをご覧下さい。 「:=」 は定義式の時に使います。 x:=tanθとすると、tanθをxと定義するというふうに使っています。 お役に立ちましたでしょうか? ...続きを読む
詳しくは参考URLをご覧下さい。
「:=」 は定義式の時に使います。
x:=tanθとすると、tanθをxと定義するというふうに使っています。
お役に立ちましたでしょうか?


  • 回答No.2
レベル14

ベストアンサー率 57% (1002/1731)

では,私からは∀と∃について。 ○○がxを含む命題だとして, ∀x{○○}で,「どんなxについても○○である」 ∃x{○○}で,「○○であるようなxが(少なくとも一つ)存在する」 たとえば,実数の集合をRとすると, ∀x∈R{○○}で,「全ての実数xについて○○である」 ∃x∈R{○○}で,「○○であるような実数xが存在する」 それぞれ,existとanyの頭文字をひっくり返したといわれてい ...続きを読む
では,私からは∀と∃について。
○○がxを含む命題だとして,
∀x{○○}で,「どんなxについても○○である」
∃x{○○}で,「○○であるようなxが(少なくとも一つ)存在する」
たとえば,実数の集合をRとすると,
∀x∈R{○○}で,「全ての実数xについて○○である」
∃x∈R{○○}で,「○○であるような実数xが存在する」
それぞれ,existとanyの頭文字をひっくり返したといわれています。
(ただ,私が大学1年のときに教わった先生は「anyというのは俗説で,本当はarbitrary(任意の)から来ているんだ」と力説しておられました。
微積ですと,極限とか連続の定義のところでよく登場しますね。
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