べき乗の定義は負の整数へと拡張できるのか（再）

質問

べき乗の定義は
(1) a^1 = a
(2) a^(p+1) = a^p * a ただし p は正の整数
となります。

この定義が、このまま負の整数へと拡張できるかどうかを考えてみました。

p=0 へと拡張するならば、
(A) a = a^0 * a
という式が加わります。
a≠0 であれば a^0=1 となり a=0 なら 0^0 はどんな値も許され、0^0 は「不定」と言われます。
いずれにせよ、(1)(2)が成立するように a^0 の値を選ぶことができます。

p=-1 へと拡張するならば、さらに
(B) a^0 = a^-1 * a
という式が加わります。
a≠0 であれば a^-1=1/a となり a=0 なら 0^0=0 とした上で 0^-1 はどんな値も許されます。

さらに続けていくと、
(3) a^0 = 1 ただし a≠0
(4) a^(-p) = 1/(a^p) ただし a≠0, p は整数
(5) 0^(-p) = 0 ただし p は整数
という式が成立するように値を選ぶなら、べき乗の定義を負の整数へと拡張できることが分かります。

ところが、0^0 は 「不定」として扱うのが普通です。
これは、負の整数への拡張を考えていないから、と理解すればいいのでしょうか？
そして、負の整数への拡張を前提とするなら、0^0=0 として扱うべきでしょうか？

回答No.11

yukichance

これでどう？
a^0は、1*a^0の簡略で、指数0なら、掛け割りなしと理解する。
0^0も同様、a^0になんか、値なく、そのまんまの係数、みてるだけ…
つまりは、見かけ倒し扱いだ。

お礼

別の定義からは、別の結果が出てくるのは当然でしょう。

(1)(2)はべき乗の定義とされています。
その定義式から、どうやって標準的な答が出てくるんだろう、というのがこの質問です。

0^0 がどういう扱いかはよく知られた事実ですが、
なぜそうなるかは、あまり明確とは思えません。

回答ありがとうございました。

回答No.10

178-tall

ANo.4 お礼

にて、

>(2)において p = 0 と p = -1 と置くことにより
>0 = 0^0 * 0
>0^0 = 0^-1 * 0
>の２式が得られ、これより 0^0 = 0 となります。

その「２式」の下式に出てくる 0^(-1) が「不定（任意の値）」だとすると、「0^0 = 0」なる結論をどのようにして導くのでしょうか？

お礼

0^(-1) が「不定」となるのは、0^0=0 の場合です。
0^0≠0 と仮定すると、0^(-1) がどんな値でも、式は成立しません。

つまり、２式が成立するというのが前提ならば、0^0=0 と考えざるを得ません。

回答ありがとうございました。

回答No.9

中村 拓男（@tknakamuri）

>> 「…は値を持つ」と「決める」と
>などという話は出てきませんし、目にしたこともありません。

やっぱり考えていなかったんですね。あまあまだな～。

目にしたことがなければこれからは意識してください。

連立方程式では変数が実数であるとか複素数であるとかの
暗黙の取り決めがあるのですが、この件ではそれではまずいのです。

もともと負のべき乗が未定義のところから出発して、拡張しようと
いう話なのですから、新たに取り決める範囲を明確にしなければ
いけません。取り決める範囲と既存のべき乗が取り決められている範囲
の違いも明確にするべきです。

しっかりと慎重に取り決めを作ってください。話はそれからですね。

もし、風船べきでなくて普通のべき乗で行きたいなら、
0の負のべき乗はあきらめるべきですね。入れないと何か
不都合があるのでしょうか？

このままこの段階で足踏みするだけなら、ここで失礼します。

お礼

> 連立方程式では変数が実数であるとか複素数であるとかの
> 暗黙の取り決めがあるのですが、この件ではそれではまずいのです。

暗黙の取り決めをした憶えはありません。
どういう範囲とした場合にそれではまずいのか、明確に言ってください。

答えられないのであれば、「ここで失礼します」というのは賢い選択です。

ありがとうございました。

回答No.8

中村 拓男（@tknakamuri）

＞それはもう済んでますから。

そうですか。まあちょっとやってみましょう。

p=0 の拡張で

a = a^0 * a

ここで 「0^0 が値を持つ」と「決める」と、この式だけでは
0^0 は決められないので、とりあえず具体的な値は保留。

p=-1 の拡張で

a^0 = a^(-1) * a

で 「0^(-1) は値は持つ」と「決める」と

0^0=0 が決定。

p=-2 の拡張で

a^(-1) = a^(-2) * a

で 「0^(-2) は値は持つ」と「決める」と

0^(-1) = 0 が　決定。

：
：

という感じですが。新しい取り決め満載なのはわかりますよね。　
この取り決めをまとめて書くと

0^(0又は負の整数) の値は存在し、値は全て 0

ひょっとして、値を持つ/持たないは決めなくてよいし、
違いのうちに入らないと考えてますか？

普通のべき乗は0^(-1) は値を持ちません。
風船べきは持ちます。

大きな違いだと思います。似て非なる別世界です。

お礼

> a = a^0 * a

> a^0 = a^(-1) * a

ここで、a = 0 とし x = a^0, y = a^(-1) と置くと

0 = x * 0
x = y * 0

となります。

この方程式の解は
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/8329391.html
にて質問し、x=0, y は任意 となることを確認しています。

> 「…は値を持つ」と「決める」と

などという話は出てきませんし、目にしたこともありません。

独自の考えを持つのは構いませんが、回答は標準的な数学に基いてお願いします。

回答ありがとうございました。

回答No.7

Mathmi

＞これは、負の整数への拡張を考えていないから、と理解すればいいのでしょうか？
wikiを見れば分かりますが、そんな特殊なレベルの話ではありません。
むしろ逆に「0^0が定義できないから、べき乗の定義(1)(2)は負の整数に拡張できない」と言うべきでしょう。

＞そして、負の整数への拡張を前提とするなら、0^0=0 として扱うべきでしょうか？
0^0=1と定義(仮定)しても、1/0=1と定義(仮定)したならば負の整数への拡張は可能ですから、0^0=0として扱わなければ拡張不可という訳ではありませんね。
まぁ、0^0=0とした方が、新しい定義が一つで済むので、好ましいといえば好ましいんですが。

注意すべきなのは、だからといって「0^0は0であるのが妥当だ」という訳ではない事です。
「この箱(0^0)に赤いラベル(べき乗の定義の負の整数への拡張)を張る場合、中に入れるのは赤玉(0)がいいか？」
「赤玉(0)も白玉(1)もどっちも入れられるけど、赤玉の方がしっくりくる」
という話から
「全ての箱には赤玉を入れる(0^0=0)べき」
という結論を導くのは、乱暴に過ぎますから。

お礼

> 0^0=1と定義(仮定)しても、1/0=1と定義(仮定)したならば負の整数への拡張は可能ですから

1/0=1 というのは、いかなる意味なのでしょうか？
そもそも０で割ることは定義できないと思いますし。

回答ありがとうございました。

回答No.6

中村 拓男（@tknakamuri）

>公理ではありません。

公理でないならそれは推論の結果なので (1)～(4), (A), (B)だけから導いてください。

それが示せたら続きをやりましょう。

お礼

それはもう済んでますから。

ありがとうございました。

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri）

>(5) 0^(-p) = 0 ただし p は整数

独自の公理ですね。ですので以降は「風船べき」とでも言うべき独自の
べき乗の話になります。

ここで 0^0=0 は確定し、不定ではなくなります。

>ところが、0^0 は 「不定」として扱うのが普通です。

初耳です。

また、(5) で 0^0=0を含む公理を作ったのですから
不定でないのは当然です。

(5)はなくても 「風船べき」の負のべき乗への拡張は(1)～(4)で可能です。
a=0 かつ p<=0 のべき乗に定義を与えたのは普通のべき乗には「ない」
「風船べき」の独自拡張です。

普通ではないので「普通」と比べて違っていて当然です。

＃「普通」は 0^0 は未定義。

お礼

> 独自の公理ですね。

公理ではありません。
(2)を負の整数でも成立させようとしたら、こういう解になるというだけです。

> ここで 0^0=0 は確定し、不定ではなくなります。

負の整数へと拡張したら、不定ではなくなります。

> (5)はなくても 「風船べき」の負のべき乗への拡張は(1)～(4)で可能です。

0 を底とした負のべき乗を定義しない理由はありません。

> 「風船べき」の独自拡張です。

もちろんその通りです。
ですから、正しい拡張との方法の違いを回答してください。

質問内容は、独自拡張か否かではありません。
何が原因で、普通と違うかです。

ありがとうございました。

回答No.4

178-tall

>今回の場合、x = 0, y は「不定（任意の値）」というのが解です。

「異論なし」でスキップ。

>また、(2)で p = -2 とすると、今度は y = 0^-1 = 0 としなければならなくなります。
>これを繰り返すと、数学的帰納法により、0^(-p) = 0 という解が得られます。

(2) を眺めてみよう。
　　　　　　　　↓
>(2) a^(p+1) = a^p * a ただし p は正の整数

(2) で p = -2 ならば、y = a^(-2) *a = y^(-1)*a だけど、y が「不定（任意の値）」のままでは、「数学的帰納法」も使えまい。

お礼

(2)式は、p > 0 では成立する。ただし、p は整数の値を取ることとする。

さて、帰納法で証明しようとしてる式は

(5') 0^p = 0

であり、これが p >= 1 で成立しているのは明らかです。

連立方程式
0 = x * 0
x = y * 0
の解が x = 0, y は「不定（任意の値）」であることを証明済みとするなら、

(2)において p = 0 と p = -1 と置くことにより
0 = 0^0 * 0
0^0 = 0^-1 * 0
の２式が得られ、これより 0^0 = 0 となります。

(5')が p >= n で成立しているなら、
(2)において p = n-1, p = n-2 と置くことで
0 = 0^(n-1) * 0
0^(n-1) = 0^(n-2) * 0
となり、これより 0^(n-1) = 0 となります。
つまり、(5')は p >= (n-1) でも成立しています。

よって、数学的帰納法により、(5')はすべての整数で成立します。

証明が分かり難いかもしれませんが、これでどうでしょうか？

回答ありがとうございました。

回答No.3

178-tall

>たとえば x = 1, y = 1 が元の式を満足するなら、ともに「不定」だと言えますが、
>
>0*1 = 0
>1 - 0*1 = 0
>
>とはなりませんから、その予想は正しくありません。

まず、連立形の訂正を。

>(A) a = a^0 * a
>(B) a^0 = a^-1 * a

a = 0, a^0 = x, a^(-1) = y として、

　0*x　　 = 0
　x - 0*y = 0

「係数行列」は
　{0　0 ; 1　0]

この方程式を満たす {x, y} は存在するけど、一意的じゃない。
一意的じゃないので「不定」といいました。

任意の {x, y} で成立する、というつもりなどなかった。

お礼

係数行列が正則でない（逆行列が存在しない）ため、解は一意ではありません。
その意味は、「不定」となる変数が少なくとも１つ存在するということです。

係数行列が零行列ならば、両方の変数が「不定」となります。
２つの内、片方の変数の係数だけが 0 ならば、「不定」なのはその変数だけです。

今回の場合、x = 0, y は「不定（任意の値）」というのが解です。

また、(2)で p = -2 とすると、今度は y = 0^-1 = 0 としなければならなくなります。
これを繰り返すと、数学的帰納法により、0^(-p) = 0 という解が得られます。

回答ありがとうございました。

回答No.2

178-tall

>…(B)を考慮すれば解決可能です。

>(A) a = a^0 * a
>(B) a^0 = a^-1 * a
>は連立方程式となりますから、a = 0 の場合 a^0 = 0^0 = 0 という解が得られます

a = 0 とした連立方程式とは、
　(A)'　0 = a^0 * 0
　(B)'　0 = a^0 - 0*a^(-1) * 0
のこと？

だとすると、
　0*x　　 　= 0
　x　 - 0*y = 0
なる形式。

x, y ともに「不定」じゃないの？

お礼

> x, y ともに「不定」じゃないの？

たとえば x = 1, y = 1 が元の式を満足するなら、ともに「不定」だと言えますが、

0*1 = 0
1 - 0*1 = 0

とはなりませんから、その予想は正しくありません。

回答ありがとうございました。