数学の質問です！

質問

【問題】
x=2a/(a^2+1)とするとき、{√(1+x)+√(1-x)}/{√(1+x)-√(1-x)}の値。

a^2+1＞0を分子分母にかけると、答えがaと1/a（aの範囲で場合分け）になるのですが、√内で因数分解すると、(a^2+1)/2と(a^2+1)（2-a）/2a（aの範囲で場合分け）になります。

回答では後者なのですが、なぜ前者はいけませんか？

回答No.3

fukuroumine · ベストアンサー

結論からいえば，グラフのとおり，|a|≧1でa,|a|＜1で1/aという質問者の解が正解です．
グラフは，
y=(√(1+2x/(x^2 +1)) +√(1-2x/(x^2 +1)))/(√(1+2x/(x^2 +1)) -√(1-2x/(x^2 +1)))
でかいています．
(a^2+1)/2と(a^2+1)（2-a）/2a（aの範囲で場合分け）という解にはなりません．

√(1+x)
　=√(1 +2a/(a^2 +1))
　=√((a^2 +2a +1)/(a^2 +1))
　=√((a +1)^2/(a^2 +1))
　=|a +1|/√(a^2 +1)
√(1-x)
　=√(1 -2a/(a^2 +1))
　=√((a^2 -2a +1)/(a^2 +1))
　=√((a -1)^2/(a^2 +1))
　=|a -1|/√(a^2 +1)
よって，
a≦-1のとき，
{√(1+x)+√(1-x)}/{√(1+x)-√(1-x)}
　=(-a -1 -a +1)/(-a -1 +a -1)
　=(-2a)/(-2)
　=a

-1＜a＜1のとき，
{√(1+x)+√(1-x)}/{√(1+x)-√(1-x)}
　=(a +1 -a +1)/(a +1 +a -1)
　=(2)/(2a)
　=1/a

a≧1のとき，
{√(1+x)+√(1-x)}/{√(1+x)-√(1-x)}
　=(a +1 +a -1)/(a +1 -a +1)
　=(2a)/(2)
　=a

お礼

解答有難うございます。