数I 最大最小

質問

変数θの関数f(θ)=5sin^2θ+mcosθ-3について。

(1)cosθ=tとおいて、関数f(θ)をtの関数として表したものをg(t)とおくとき、g(t)を求めよ。

(2)関数g(t)におい て定数mを１とする。

(2.1)変数θが0゜≦θ≦ 180゜の範囲にあるとき、関数g(t)の最大値と最小値を求めよ。

(2.2)変数θが90゜≦θ≦180゜の範囲にあるとき、方程式g(t)=0を解け。

(3)変数θが0゜≦θ≦180゜の範囲にあるとき、関数g(t)の最大値をmを用いて表せ。

(4)変数θが0゜≦θ≦180゜の範囲にあるとき、方程式f(θ)=0が異なる２個の解を持つためのmの値の範囲を求めよ。

(2)からサッパリわかりません。
詳しい解説をお願いします。

答え

(1)g(t)=-5t^2+mt+2
(2.1)最大値41/20,最小値-4
(2.2)t=1/10-1/10√41
(3)m<-10のとき-3-m(t=-1で最大)
-10≦m≦10のとき(1/20)m^2+2(t=m/10で最大)
10<mのとき-3+m(t=1で最大)
(4)-3≦m≦3

回答No.2

ninoue

次の関係はご存知ですよね。
sin^2θ +cos^2θ = 1;　
この式を　cosθ= t　と置いて変形し、　sin^2θ= 1-t^2;　の関係式が求まります。
そうすると　f(θ) の式 の変数を　 θから t に変えて変形すると、通常の t の２次式となります。

後は例えばθが0,90度を動く時、tがどの範囲を動くか等を考えていくと答は簡単に求められます。

回答No.1

Masami_Fujii

三角関数の微分です。教科書レベルなので、確認しながら解いてみましょう。