この数学 教えてください（簡単です）

質問

添付した数字、電卓を使わないで答えを出す方法（というか、ルール）を教えてください。
0,5の3乗が　0,5×0,5×0,5なことは、わかります。

（日本語での数学の用語を忘れてしまっているため、自分で解き方を検索することができませんでした）

回答No.8

alice_44

二分法は？

回答No.7

staratras

Ｎｏ．3です。少し補足します。「開立法」、「ニュートン法」や「テイラー展開」などが筆算で立方根を計算する代表的なやり方だと思いますが、方程式の近似解を上の桁からひとつひとつ計算していく「ホーナーの方法」というものもあります。（Nｏ．3はこれをヒントに考えたものです）

題意からx^3=0.556 ですが、解を10倍した値を新たな解Xとする方程式を考えると、(X/10)^3=0.556だから　X^3-556=0…(1) よって8<X<9 で元の方程式の最初の桁（小数第1位)は８です。

X=8+y (0<y<1)とおき、 これを(1)に代入して整理すると　y^3+24y^2+192y-44=0 解を10倍した値を新たな解Yとする方程式を考えると、上記と同様にY^3+240Y^2+19200Y-44000=0 …(2)F(Y)=Y^3+240Y^2+19200Y-44000≒19200Y-44000　と考えるとY=2.…と見当がつきます。実際F'(x)=3(Y+80)^2>0 (∵Y>0) F(2)<0,F(3)>0 から　2<Y<3 とわかり、元の方程式の次の桁(小数第2位）は２です。

そこで(2)の解から2を引いた数を新たな解zとする方程式を考え、　Y=z+2　(0<z<1)を(2)へ代入して整理すると、z^3+246z^2+20172z-4632=0 解を10倍した値を新たな解Zとする方程式を考えると、上記と同様に Z^3+2460z^2+2017200z-4632000=0 …(3）同様に　2<Z<3 とわかり、元の方程式の次の桁(小数第3位）も２です。

さらに(3)の解から2を引いた数を新たな解wとする方程式を考え、　Z=w+2　(0<w<1)を(3)へ代入して整理すると、w^3+2466w^2+2027052w-587752=0 解を10倍した値を新たな解Wとする方程式を考えると、上記と同様に W^3+24660W^2+202705200W-587752000=0 同様に　2<W<3 とわかり、元の方程式の次の桁(小数第4位）も２です。ここまでで、x≒0.8222です。

以下この操作を繰り返せば、次々に近似解が詳しく得られていきます。方程式の2次以下の項の係数が増大して計算の手間も増えていくのは面倒ですが、確実に一桁ずつ近似解が得られるのは、「開立法」と同様の利点だと思います。

添付した計算は、その「開立法」で、0.556の立方根を計算したものです。第１副運算（左）、第2副運算(中央）、主運算(右）にそれぞれ「ホーナー法」の方程式の2次の項の係数、1次の項の係数、定数項が現れていて興味深いと考えます。

お礼

簡単だと思っていたら、ものすごい難しいのですね。
みなさんのやり方を一つ一つ試しているうちにこんなに時間が経ってしまいましたが、それでもわかりませんでした。

結局今は解けませんでしたが、用語がわかっただけでも進歩でした。
ありがとうございました。

回答No.6

alice_44

1/3乗を、テイラー近似してみる。
概ね 0.556 の近辺で、三乗根が計算しやすい値として、
0.512 = (0.8)^3 が挙げられる。
x = 0.512 を中心に、x^(1/3) をテイラー展開すると…

f(x) = x^(1/3) と置いて、
f(0.512) = 0.8,
f'(x) = (1/3)x^(-2/3) より、
f'(0.512) = (1/3)/(0.8)^2 = 0.52083…,
f''(x) = (-2/9)x^(-5/3) より、
f''(0.512) = (-2/9)/{0.512(0.8)^2} = -0.67816…,
これらを使って、
f(0.512 + x)
= f(0.512) + f'(0.512)x + (1/2)f''(0.512)x^2 + o(x^2)
≒ 0.8 + (0.52083)x - (0.67816/2)x^2.

よって、
f(0.556) ≒ 0.8 + (0.52083)(0.044) - (0.67816/2)(0.044)^2
≒ 0.82226.

テイラー近似のほうが、誤差評価をするのには向くが、
手軽に精度を上げられるのは、ニュートン法のほうか…

お礼

簡単だと思っていたら、ものすごい難しいのですね。
みなさんのやり方を一つ一つ試しているうちにこんなに時間が経ってしまいましたが、それでもわかりませんでした。

結局今は解けませんでしたが、用語がわかっただけでも進歩でした。
ありがとうございました。

回答No.5

info22_

No.1です。

ANo.1の解法１に変換ミスの誤字がありましたので訂正してください。

>以下何桁あっても3乗根の開閉計算が可能です。

で
誤：開閉計算
正：開平計算

以上。

なお、参考URLを参照するには、先頭に「h」を補えば参照できます。
念のため。（直接URLにリンクを張るのはネチケットに障るのでわざと先頭のhを外したURLを書いています。）

回答No.4

staratras

No.3です。誤記を訂正します。失礼しました。

(誤）　x^3+2.4x+1.92x-0.044=0 …(2)　(中略）2.4x+1.92x-0.044=0 を解くと

(正）　x^3+2.4x^2+1.92x-0.044=0 …(2)　(中略）2.4x^2+1.92x-0.044=0 を解くと

回答No.3

staratras

筆算で立方根を求めるには「開立法」という計算方法があります。
以下はそれとは異なり、厳密ではありませんが簡便な近似計算法です。

まず、以下の「立方九九」を覚えておきます。
1^3=1,2^3=8,3^3=27,4^3=64,5^3=125,6^3=216,7^3=343,8^3=512,9^3=729

問題の0.556^(1/3)=(1/10)(556^(1/3)) だから、求めたい0.556^(1/3)=Xとおくと
0.8<X<0.9 であることがわかります。そこでX=0.8+x とおきます（0<x<0.1)…(1)

X^3=0.556 に代入して整理すると　x^3+2.4x+1.92x-0.044=0 …(2)

ここで(1)からx^3<0.001 だからこの項を無視し、2.4x+1.92x-0.044=0 を解くと
x=(-0.96±√1.0272)/2.4 このうち正の解はx≒0.022295…　なので

求めるX=0.556^(1/3)≒0.8223（念のためX^3＝0.556020…でした）

なお真面目に3次方程式(2)を解くとx=0.02228985…でした。

お礼

簡単だと思っていたら、ものすごい難しいのですね。
みなさんのやり方を一つ一つ試しているうちにこんなに時間が経ってしまいましたが、それでもわかりませんでした。

結局今は解けませんでしたが、用語がわかっただけでも進歩でした。
立方九九は便利ですね、がんばって覚えます。

ありがとうございました。

回答No.2

t-yamada_2

ニュートン法を使います。

公式：x - (x^3 - ■)/(3x^2)
の■に問いの数字0.556を入れ、ｘは適当な値（5でも10でも、答えに近いほど計算の手間は減ります）

x - (x^3 -　0.556)/(3x^2)　を計算し出た答えを新たにｘとしてまた公式に代入する。
これを繰り返すと近似値になります。

（例）※小数点以下は便宜上3桁までにしておきますね
　x=2で始めると
　1.380　⇒　これを新たなxとして代入すると

　1.017　⇒　これを新たなxとして代入すると

　0.857　⇒　これを新たなxとして代入すると

　0.824　⇒　これを新たなxとして代入すると

　0.822　⇒　ほぼ近似値　（ちなみに電卓では0.822289851…）

　確認　0.822289851×0.822289851×0.822289851≒0.556

お礼

簡単だと思っていたら、ものすごい難しいのですね。
みなさんのやり方を一つ一つ試しているうちにこんなに時間が経ってしまいましたが、それでもわかりませんでした。

結局今は解けませんでしたが、用語がわかっただけでも進歩でした。
ありがとうございました。

回答No.1

info22_

解法1
3乗根の筆算による開平法を使って計算する。
小数点以下があれば、1000=10^3=10x10x10
なので1000倍して3乗根を計算し、それを10で割ればよい。
この考え方を適用すれば小数以下が多桁あれば1000^(n)=10^(3n)して3乗根を計算し10^nで割ってやれば、小数以下何桁あっても3乗根の開閉計算が可能です。
参考URL
ttp://homepage1.nifty.com/moritake/sansu/6/heihoukon/kon02.htm

解法2
y=x^3の出来るだけ正確なグラフをグラフ用紙に描いて、グラフのy座標が0,556
のところのx座標を読み取れば、それが0.556^(1/3)の値になります。

解法3
常用対数表
参考URL
ttp://www.khk.or.jp/activities/regalexamination_course/dl/taisuuhyou.pdf
を使って計算する。
log10(0.556^(1/3))=(1/3)log10(0.556)=(1/3)log10(5.56/10)
=(1/3){log10(5.56)-1}
常用対数表を引いてlog10(5.56)=0.745だから
=(1/3)(0.745-1)
=(1/3)(2.745-3)
=0.915-1
常用対数表を逆引きして0.915=log10(8.22)だから
=log10(8.22)-log10(10)
=log10(8.22/10)
=log10(0.822)

∴0.556^(1/3)=0.822

(参考）電卓で計算すると
0.556^(1/3)=0.82228985186…
となります。

補足

簡単だと思っていたら、ものすごい難しいのですね。
みなさんのやり方を一つ一つ試しているうちにこんなに時間が経ってしまいましたが、それでもわかりませんでした。

＞3乗根の筆算による開平法を使って計算する。
これが一番私でもできそうですが、初めて聞いたやり方なので、さらに検索してこの方法を理解したいと思います。

結局今は解けませんでしたが、用語がわかっただけでも進歩でした。
ありがとうございました。