合同式について

質問

k(2k^2+1)が3の倍数であることを示すために
3を法とする合同式でkを3通りに分ける問題なのですが

kが3の倍数、すなわちk≡0 (mod 3)のとき
k(2k^2+1) ≡ 0(2×0^2+1) ≡ 0 (mod 3)

kが3で割って1余る数、すなわちk≡1 (mod 3)のとき
k(2k^2+1) ≡ 1(2×1^2+1) ≡ 3 ≡ 0 (mod 3)

kが3で割って2余る数、すなわちk≡2 (mod 3)のとき
k(2k^2+1) ≡ 2(2×2^2+1) ≡ 18 ≡ 0 (mod 3)

となると参考書に書かれているのですが
この意味がよくわかりません。

k(2k^2+1)が3の倍数であることを示すためには、k( )のkの部分が3の倍数であれば
k( )全体が3の倍数になるのでkが3の倍数であることがいえればいいというのはわかるのですが

例えば
kが3の倍数、すなわちk≡0 (mod 3)のとき
k(2k^2+1) ≡ 0(2×0^2+1) ≡ 0 (mod 3)

これは3で割った時にkと0の余りが同じとき　という意味だと思うのですが
なぜその時に 0(2×0^2+1)　このように表現するのかわかりません。

数Aの問題で数学があまり得意ではないので簡単に説明していただけると助かります。

回答No.2

noname#199771

A≡B(mod n)
というのは、
A-B=n×（ある整数）
と同じです。これは機械的に置き換えてよいことです。

＞kが3の倍数、すなわちk≡0 (mod 3)のとき
＞k(2k^2+1) ≡ 0(2×0^2+1) ≡ 0 (mod 3)
＞
＞これは3で割った時にkと0の余りが同じとき　という意味だと思うのですが

その通りです。

＞なぜその時に 0(2×0^2+1)　このように表現するのかわかりません。

k(2k^2+1) - 0(2×0^2+1)
= （3×（ナントカカントカ）） - (3×(ナンタラカンタラ))
= 3×（ナンチャラカンチャラ）

だから、k(2k^2+1) ≡ 0(2×0^2+1) としていいのです。

具体的に計算する際は
「a≡b(mod n)、かつc≡d(mod n)
ならば
a+c≡b+d(mod n)　　・・・★
ac≡bd(mod n)」　　・・・☆
という性質を直接使います。

上の式でいうと、とても冗長な書き方をすれば、
k≡0(mod 3)のとき、
k^2≡0^2(mod 3)　←☆
∴2×k^2≡2×0^2(mod 3)　←☆
∴(2×k^2)+1≡(2×0^2)+1(mod 3)　←★
∴k(2k^2+1) ≡ 0(2×0^2+1) (mod 3)　←☆
となります。

ちなみに、蛇足ですが本問の場合、
k(2k^2+1)=k((3-1)k^2+1)=k{3k^2+(1-k^2)}=k{3k^2+(1-k)(1+k)}
と変形できるので、kが3の倍数なら明らかに3の倍数ですし、
kが3の倍数でなければ1-kか1+kのどちらかが必ず3の倍数に
なるので中括弧の中が3の倍数になります。

回答No.1

f272

k=0のとき
k(2k^2+1) = 0(2×0^2+1) = 0
k=1のとき
k(2k^2+1) = 1(2×1^2+1) = 3
k=2のとき
k(2k^2+1) = 2(2×2^2+1) = 18
であれば，このように表現する理由が理解できるか？