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極限の基礎的な事項について
三角関数の極限値についての勉強をしていたのですが、証明を見ると、 cosθ<sinθ/θ<1を lim cosθ≦lim(sinθ/θ)≦1 と変形していた箇所がありました。(全てθ→0です) なぜ<が≦になっているのでしょうか? 回答よろしくお願いします。
- universephysics
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<回答No.1補足 では φ(x) < ψ(x) がすべての実数 x について成り立つならば limφ(x) ≦ limψ(x) を示しましょう.しかし f(x) = ψ(x) - φ(x) とおいてしまえば 0 < f(x) ⇒ 0 ≦ lim f(x) を示せば十分です. とは言ったものの x → x0 としたときに,もし f が x0 で連続とわかっているならばこんなのは当たり前です.そこで (もとのが1/θ → ∞ ですし)極限値lim_{x → ∞} f(x) = ξが存在するとき証明をしましょう. 背理法です.もしξ < 0 ならば収束の定義からε:= |ξ|/2 > 0 に対して,ある M > 0 が存在して x > M ⇒ |f(x) - ξ| < ε とできます.けれどもこれを満たすならば仮定とεのとり方から f(x) < 0 となり,矛盾です.したがって ξ ≧ 0 です.
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- alice_44
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ちゃんと示すなら、εδなんだろけどね。 高校流で説明すると… lim[x→a]f(x)=α, α<0 だったとすると、 x が a に近いとき f(x) は α に近いから、 その差が |α| より小さくなるように x を a に十分近づければ、f(x)<0 になる。 f(x)>0 を満たす f では、それは起こらない。 …ということ。 ただ、この証明は、g(x)<h(x) のとき lim g(x)≦lim h(x) であることを示すもので、質問にあった g(x)<h(x) のとき lim g(x)<lim h(x) じゃないのか? という点については、A No.1 のように そうならない例を挙げれば、十分なはず。
- naniwacchi
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こんばんわ。 > lim cosθ≦lim(sinθ/θ)≦1 絶対的な大きさ関係としては cosθ< sinθ/θ< 1だけれども、 「極限値という結果」でみれば、等しくなることも考えられるから。という意味でしょうね。 でもちょっと気持ち悪い感じもわかります。^^; lim[θ→0] sinθ/θ= 1の証明のところだと思いますが、 通常は cosθ< sinθ/θ< 1を示しておいて 「cosθ→ 1であるから、はさみうちの原理より」 と書くことが多いと思います。
- ask-it-aurora
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極限操作をしたあとでは < を ≦ にしなければなりません.(極限操作をしたあとでもなお < が成立する場合もありますが,一般には成り立たないということです.) 具体例としては数列 1/n を考えてみればよいでしょう.もちろんすべての自然数 n に対して 0 < 1/n は成り立ちますが 0 < lim 1/n = 0 (n →∞) はウソです.
補足
確かにその具体例では、≦でなくてはならないことが分かりました。 しかし、それが全てにおいて成り立つかどうかはわからないので、 何故極限操作をした後には<を≦に変えなくてはならないのか 証明して頂けると嬉しいです。よろしくお願いします。
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