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この問題の解き方を教えてください

kを正の実数とする。点Pは△ABCの内部にあり、kAPベクトル＋5BPベクトル＋3CPベクトル＝0ベクトルを満たしている。また、辺BCを3:5に内分する点をDとする。3点A、P、Dは一直線上にあることを示せ。さらに△ABPの面積が△CDPの面積の6/5倍に等しいとき、kの値を求めよ。 という問題がわからなくて ぜひ教えて頂きたいです！ よろしくお願いいたします;;

noname#177504
noname#177504

みんなの回答

  • yyssaa
  • ベストアンサー率50% (747/1465)
回答No.2

＞APベクトルを↑APと書きます。 ↑AP=↑AB+↑BD+↑DP ↑AB=↑AP-↑BP、↑BD=(3/8)↑BC、↑BC=↑BP-↑CPだから最初の式は ↑AP=↑AP-↑BP+(3/8)(↑BP-↑CP)+↑DP、↑DPを求めると、 ↑DP=↑BP-(3/8)(↑BP-↑CP)=(5/8)↑BP+(3/8)↑CPとなるので、 8↑DP=5↑BP+3↑CP、条件がk↑AP+5↑BP+3↑CP=↑0だから 5↑BP+3↑CP=-k↑AP、すなわち8↑DP=-k↑AP、↑DP=-(k/8)↑AP となるので、3点A、P、Dは一直線上にある(証明終わり) ＞Bから直線ADに下ろした垂線の長さをh1、Cから直線ADに下ろした垂線 の長さをh2、△ABPの面積をS1、△CDPの面積をS2とすると、 h1/h2=3/5、AP/PD=8/k、S1=(1/2)AP*h1、S2=(1/2)PD*h2 S1/S2=(AP*h1)/(PD*h2)=(AP/PD)*(h1/h2)=(8/k)*(3/5)=24/(5k) これが6/5だから24/(5k)=6/5からk=4・・・答

noname#177504
質問者

お礼

回答ありがとうございます！ こういう解き方もあるのだなぁと 勉強になりました ありがとうございました！

  • gohtraw
  • ベストアンサー率54% (1630/2966)
回答No.1

ベクトル記号は略します。 BP=AP-AB、CP=AP-ACを ｋAP＋５BP＋３CP＝０　に代入して ｋAP＋５（AP-AB)＋３（AP-AC)＝０ （ｋ＋８）AP＝５AB＋３AC AP=（５AB+3AC)／（ｋ＋８）・・・（あ） 一方、DがBCを３：５に内分することから AD=（５AB+3AC)／８・・・（い） （あ）と（い）より AP=８AD／（ｋ＋８）・・・（う） となり、APがADの実数倍となるので三点A、P、Dは一直線上にある。 BD：DC=３：５より、△ABDとACDの面積の比は３：５であり、（う）より △ABPの面積は△ABDの面積の８／（ｋ＋８）倍　、そして △CDPの面積は△ACDの面積のｋ／（ｋ＋８）倍 となるので、△ABPとCDPの面積の比は ３＊８／（ｋ＋８）：５ｋ／（ｋ＋８） であり、問題文よりこれが６／５：１　になるので ３＊８／（ｋ＋８）：５ｋ／（ｋ＋８）＝６／５：１ ２４：５ｋ＝６：５ ３０ｋ＝１２０ ｋ＝４

noname#177504
質問者

お礼

回答ありがとうございます！ 自分で解けるところまで解いてみたのと似ていたので スッと理解することができました ありがとうございました！

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