ベクトルの問題です。教えてください。

質問

ＡＢ＝３、ＢＣ＝６、ＣＡ＝５　の三角形ＡＢＣがある。ＢＣを直径とする半円をＢＣに関して
頂点Ａと反対側に作る。半円周上に点Ｐをとる。
ＡＢ・ＡＰ＋ＡＣ・ＡＰの最大値の値は？（ベクトルは省略させていただきます。）

Ｐをどこにとって、Ｐをどうやって求めればいいのか分かりません。
詳しく教えてください！
よろしくお願いします。

回答No.4

ferien · ベストアンサー

＞ＡＢ＝３、ＢＣ＝６、ＣＡ＝５　の三角形ＡＢＣがある。ＢＣを直径とする半円をＢＣに関して
＞ 頂点Ａと反対側に作る。半円周上に点Ｐをとる。
＞ ＡＢ・ＡＰ＋ＡＣ・ＡＰの最大値の値は？（ベクトルは省略させていただきます。）
図を描いてください。
BCを直径とする半円の上に、底辺をBCとする△ABCが乗っている形です。

∠BAP＝α，∠CAP＝β　とおくと、∠A＝α＋β
AB・AP＝｜AB｜・｜AP｜・cosα
AC・AP＝｜AC｜・｜AP｜・cosβ　より、
AB・AP＋AC・AP＝｜AP｜・(｜AB｜cosα＋｜AC｜cosβ)
＝｜AP｜・(3cosα＋5cosβ）

3cosα＋5cosβの最大値を求めます。
∠A＝α＋βだから、β＝∠A－αより、
3cosα＋5cosβ＝3cosα＋5cos(A－α）
△ABCで、余弦定理より、
cosA＝(3^2＋5^2－6^2)/2・3・5＝-1/15＞-1/2　より、∠Aは鈍角で、π/2＜A＜2π/3
sin^2A＝1－(1/15^2)＝224/15^2　より、sinA＝4√14/15
加法定理より、
cos(A－α)＝cosA・cosα＋sinA・sinα
＝(-1/15)cosα＋(4√14/15)sinα
よって、
3cosα＋5cosβ
＝3cosα＋(-1/3)cosα＋(4√14/3)sinα
＝(4√14/3)sinα＋(8/3)cosα
合成の公式より、
＝4√2sin(α＋θ)

tanθ＝(8/3)/(4√14/3)＝2/√14＜1/√3より、0＜θ＜π/6
0＜α＜2π/3（　π/2＜A＜2π/3より、）
0＜α＋θ＜5π/6より、0＜sin(α＋θ)≦1　だから、
0＜4√2sin(α＋θ)≦4√2
よって、3cosα＋5cosβの最大値は、4√2
だから、さらに、
AB・AP＋AC・AP＝｜AP｜・4√2　が最大になるためには、APの長さが最大であればよい。

APの長さが最大になるときは、半円の中心（BCの中点）を通るときだから、
その時の　ＡＢ・ＡＰ＋ＡＣ・ＡＰの値を求めます。

APの長さを求める。
BCの中点をOとします。図から、OP＝3
△ABCで、余弦定理より、
cos∠B＝(3^2＋6^2－5^2)/2・3・6＝5/9
△ABOで、余弦定理より、
AO^2＝3^2＋3^2－2・3・3・cos∠B
＝9＋9－2・9・(5/9)
＝8より、　　　AO＝2√2
よって、AP＝3＋2√2
したがって、AB・AP＋AC・AP　の最大値は、
｜AP｜・4√2
＝(3＋2√2）・4√2
＝4(4＋3√2)

実は、3cosα＋5cosβの最大値を求めなくても、同じ答えになります。
上と同じようにして、AP＝3＋2√2

AB・AP＝3・(3＋2√2)・cosα
AC・AP＝5・(3＋2√2)・cosβ　より、
AB・AP＋AC・AP＝(3＋2√2)(3cosα＋5cosβ）……(1)

△BPCは、∠BPCが直径上の円周角になるから、90°で、
直角三角形だから、BP^2＋CP^2＝6^2　……(2)

△ABPで、余弦定理より、
BP^2＝3^2＋(3＋2√2)^2－2・3・(3＋2√2)・cosα
△ACPで、余弦定理より、
CP^2＝5^2＋(3＋2√2)^2－2・5・(3＋2√2)・cosβ
(2)に代入して整理すると、
2・(3＋2√2)・(3cosα＋5cosβ)＝2・(3＋2√2)^2－2　より、
(3＋2√2)・(3cosα＋5cosβ)＝(3＋2√2)^2－1
＝16＋12√2
＝4(4＋3√2)
これを(1)に代入すると、
よって、AB・AP＋AC・AP＝4(4＋3√2)

3cosα＋5cosβの値には関係なく、APの長さが最大であれば、
最大値をとるようです。

図を描いて確認してみてください。

お礼

毎回丁寧な解説ありがとうございます！
とても分かりやすくて助かりました。