数III積分計算

質問

解説をお願いします。

∫[0→1] (4-x)/(x^2-2x+4) dx

回答No.2

wakagi1189

せっかく分子分母で次数が１違うどうしなので、
分子を分けてやるパターンでやってみます。
置き換えはarctanのみ使います。

分母x^2-2x+4の微分は2x-2
分母をY,この微分をyとすると、
中の式は 3/(x^2-2x+4) -(1/2)(y/Y)となり、
右の奴は積分すると-(1/2)log|x^2-2x+4|+Cとなるので、
[0 -> 1]では　-(1/2)log(3/4)=(1/2)log(4/3)
左の奴は、
3/{(x-1)^2+3}とできて、x-1=√3tanθとすると、
x=√3tanθ+1で、
x 0 -> 1が、
θ -(π/6) -> 0となり、
dx/dθ = √3/(cos^2)θで
左の積分をθで置き換えると、
∫[-(π/6) -> 0] 3*(1/3cos^2θ)*√3cos^2θ dθ
=∫√3 dθで、
[√3θ] を[-(π/6) -> 0]することになって
√3π/6となる。
よって、
√3π/6 + (1/2)log(4/3)
= 1/6{√3π + 3log(4/3)}
= 1/6{√3π + log(64/27)} ≒1.05

ここが便利です。
http://www.wolframalpha.com/

回答No.1

spring135

I=∫[0→1] (4-x)/(x^2-2x+4) dx

y=x-1とすると

I=∫[0→1] (4-x)/(x^2-2x+4) dx=∫[-1→0] (3-y)/(y^2+3) dy

z=-yとすると

I=∫[1→0] (3+z)/(z^2+3) (-dz)=∫[0→1] (z+3)/(z^2+3) dz

=∫[0→1] z/(z^2+3) dz+∫[0→1] 3/(z^2+3) dz

=I1+I2

I1=∫[0→1] z/(z^2+3) dz=(1/2)∫[0→1] [d(z^2+3)/dz]/(z^2+3) dz

=(1/2)[0→1][log(z^2+3)]=(1/2)log(4/3)

I2=∫[0→1] 3/(z^2+3) dz

ｚ=（√3）uとおく

I2=3∫[0→1/√3] √3du/(3u^2+3) =√3∫[0→1/√3] du/(u^2+1)

u=tanvとおく。

1+u^2=1/cos^2v

du/dv=1/cos^2v

I2=√3∫[0→1/√3] du/(u^2+1)=√3∫[0→π/6] du=√3[0→π/6][v]=√3π/6

I=I1+I2=(1/2)log(4/3)+√3π/6