数学の問題で、解き方が解らなかった問題です

質問

以下の問題になります。

x^2+y^2=x+y を満たす。この時、

2　ｘ＋ｙのとりうる値の範囲を求めよ
3　y-x^2+xのとりうる値の範囲を求めよ

座標平面上で、中心が（1/2,1/2）、半径が√2/2 の円になることはわかるのですが、上記の二問が解らないです。お忙しい中、申し訳ありませんが、解説をお願いいたします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

2
x^2+y^2=x+y ...(1)
x+y=k ...(2)とおくと
y=k-x　...(3)

(3)を(1)
に代入すると
x^2+(k-x)^2-x-(k-x)=0
2x^2-2kx+k^2-k=0 ...(4)
実数x,yの存在条件から
判別式D/4=k^2-2(k^2-k)=k(2-k)≧0
k(k-2)≦0 ∴0≦k≦2 ...(5)
∴0≦x+y≦2 ...(6) ←答え

[検算]
x+yが最小値=0をとるときk=0。(4),(3)よりx=y=0
x＋yが最大値=2をとるときk=2。(4),(3)よりx=y=1

3
y-x^2+x=k ...(7)とおくと
x^2-x=y-k ...(7a)
(1)より
y^2=y-x^2+x ...(8)
(7a)を代入
y^2=k ...(9)
(9)より　k≧0　...(10)
このときy=√k ...(11)
(7)に代入
x^2-x+k-√k=0 ...(12)
xの実数条件より
判別式D=1-4(k-√k)=2-(2√k-1)^2
=(√2+2√k-1)(√2-2√k+1)≧0 ...(13)
(10),(13)より
0≦2√k≦1+√2　∴0≦k≦(3+2√2)/4
(7)より
　∴0≦y-x^2+x≦(3+2√2)/4
[検算]
最小値=0をとるとき k=0,y=√k=0,x^2-x=0,x=0,1
最大値=(3+2√2)/4をとるときk=(3+2√2)/4,
y>1/2より　y=(1+√2)/2,x=1/2

お礼

夜分遅くに回答いただき、ありがとうございました。

詳しい解説、助かりました。本当はお二方にベストアンサーを差し上げたかったのですが、詳しく解説をいただいたinfo22さんに差し上げようと思います。

本当に、ありがとうございました。

回答No.1

gohtraw

ｘ＋ｙ＝ｋ　とおき、変形するとｙ＝－ｘ＋ｋ
これは傾きがー１、ｙ切片がｋの直線です。この直線が円　（ｘ－１／２）＾２＋（ｙ－１／２）＾２＝１／２　と
共有点を持った状態でｘｙ平面上を色々動くと考えると、ｋの最大、最小値は直線ｙ＝－ｘ＋ｋと
円　（ｘ－１／２）＾２＋（ｙ－１／２）＾２＝１／２　が接するときです。

ｘ＾２＋ｙ＾２＝ｘ＋ｙ　よりｙ－ｘ＾２＋ｘ＝ｙ＾２です。
従って、円　（ｘ－１／２）＾２＋（ｙ－１／２）＾２＝１／２　上の点は
（１－√２）／２＜＝ｙ＜＝（１＋√２）／２
の範囲にあることからｙ＾２の範囲もわかります。

お礼

夜分に回答して頂き、ありがとうございました。

非常に参考になりました。円と直線の関係を使う方法、考えても思いつきませんでした。難しく考えてしまっていたのか…

本当にありがとうございました。