必要十分条件の理解

質問

• 私は必要十分条件について疑問を抱いています。特に、「すべての実数x,yで成り立つ」という文章と「x＝yで成り立つ」という文章の関係についてすっきり理解できません。
• 必要条件とは意味が広い方の条件であり、Bがその条件であるはずです。しかし、Aの方が意味が広く感じられるため、私はどこか勘違いしているのかと不安になっています。
• 何か勘違いがあるのか、もしくは私が質問を間違えているのか、教えていただけると幸いです。

回答No.3

graycat000 · ベストアンサー

意味が広いほうが必要条件、とうい覚え方が混乱を招いてます。
必要条件と十分条件という概念と、意味が広い狭いという概念は無関係だと考えたほうがいいです。

A->Bのとき、AはBの十分条件と呼び、BはAの必要条件と呼ぶ。それだけです。
ただの形式上の名前なんです。

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ところで、混乱されている原因を考えてみたところ、
次のような説明を思いついたので説明させてください。

今おっしゃっている内容は、述語論理で表され、

A: ∀x,y( P(x,y) )
B: ∀x,y( x=y -> P(x,y) )

です。A->Bとは

∀x,y( P(x,y) ) -> ∀x,y( x=y -> P(x,y) )

という内容になります。つまり、

∀x,y( P(x,y) -> ((x=y) -> P(x,y)) )

であり、この内部の構造はトートロジーです。
しかも公理の一つに採用されるようなレベルの常に真であるような式です。

かなり当たり前のことを言っていて、

「カラスが黒いならば、朝、カラスは黒い」

と言っている文章です。

当たり前すぎワロタです。
ですので、質問者さんの理屈 A->B は完璧に正しいです。

P(x,y)は任意のx,yで真なので、Aの真理値表は全部真です。
(x=y) -> P(x,y)も、P(x,y)が常に真なので、常に真です。Bの真理値表も全部真です。
A->B が偽になるのは、T->Fの組み合わせだけだからです。

つまり、Aの真理値表も、Bの真理値表も常に真であるような式です。
A->Bのとき、AとBに大小関係はありません。

私が考えるストーリは次のようになります。
おそらく、質問者様はご自分で有名なトートロジー

X -> (Y -> X)

を考え出しました。
この論理はX,Yの真偽に全く関係なく、常に真です。
質問者様の考えは完璧に正しいわけです。

その上で、Xの内容を任意の入力に対して真という風に定義しました。
つまり、Xはあらゆる入力に対して真なので、巨大な真理値範囲をもっています。

ここで、質問者様はB式（Y->X）において、
Yをある限定された入力にのみ真である（x=y）。と定義しました。

ここで大きな誤解が生じます。

「A式の真理値が巨大なのに、B式の Y の真理値範囲は限定的（小さい）ではないか」
「Bが必要条件なんだから、Bのほうの真理値範囲が大きいはずだろう！」
「でも X -> (Y -> X) は絶対に正しい（トートロジーだから）」
「絶対に正しいはずなのにどうしてB式のほうの真理値が小さいんだろうか）

とのことではないでしょうか。
実際はそうではないです。

比較すべきはXと、（Y->X）の真理値範囲です。Yの真理値範囲ではありません。

そして両者は常に真で同じ真理値範囲の大きさを持っています。

言っている内容がトートロジーで恒真な上に、Aが常に真なのでBも引っ張られて常に真となります。
この上なく正しい理屈ですね。
何もかもが正しいので、ご自分でも検証できなくなったと推測されます。

最後に、便宜上、真理値範囲の大きさ、真理値範囲が大きいといった表現を使いました。
真理値表中で真になるパターンの数を指しています。
この表現だと「意味が大きい」といった考えを肯定するようですが、そういった考えはお勧めしません。
意味という言葉はあいまいなので、その理解は捨ててください。

お礼

あなたは私の拙い質問の意味を私以上に汲み取り，咀嚼し，説教してくださった方です．
感謝いたします．