曲げモーメントはなぜ釣り合うことができる？

質問

軸応力は部材のどの点をとっても大きさが同じで向きが反対の力で釣り合いますが、
例えば中央がPL/4となる集中荷重を受ける単純梁は中央部分の点は一対で
左右とも同じ曲げモーメントが生じますが、
それ以外の点は応力の勾配があるため、
任意の点の曲げモーメントは左右で大きさが同じで向きが反対の一対の曲げモーメントは生じていないことになりますが
なぜ梁は静止していられるのでしょうか？

回答No.7

noname#221368 · ベストアンサー

#6です。

＞数学と言うよりも、現実の現象に納得がいかないといったところでしょうか。

　これには、何とか応えられそうです。

　・・・とは言え、微分や微分係数は存在論的に、やはり微妙な立ち位置ですよね。例えば瞬間速度は人間のでっち上げなのか？（現象を説明する数学的パラメータという意味で）、それとも現実に存在するのか？、などと考えだすと・・・。

　現実に存在するとすると、「瞬間には動いていないのに、瞬間速度とは是如何に？」だし、でっち上げだとするとスピードメーターなんか信じてられなくなる。スピードメーターは近似的な瞬間速度測定器だから・・・(^^)。

　と、こんな事ばかり言ってても仕方ないので、添付図を見て下さい。

　じつは自分は（あくまで自称ですが）、構造力学のベテランです。昔あなたと同じように、曲げモーメントが金太郎飴にならない事に違和感をおぼえたのを、思い出しました。そのとき、次のように考えて納得しました。

　集中荷重を受ける単純梁の一部を、切り出して考えます。図の部材長Lは微小でもL→0でもなく、有限の大きさです。切り出した部材の力の釣り合いを考えます。水平力は省略できるので、鉛直力と力のモーメントを考えれば十分です。

　鉛直力の釣り合いから、せん断力Ｓは、金太郎飴状態になるのがわかりますが、次に力のモーメントの釣り合いを考えると・・・。

　左右断面でせん断力の方向は逆向きです。これは鉛直力の釣り合い条件からの要請事項です。しかしそうなると、例えば部材の中点に回転中心を置いて力のモーメントを計算すれば、せん断力はＳ・Lの回転力を与えます。

　　※静止物体において、モーメント計算の中心は任意の場所にとれます。
　　　この事は構造力学ではふつう、うやむやにされますが、中心がどこにあっても、結果は同じです。
　　　数学的に証明できます。

　ところが、せん断力による回転力Ｓ・Lに対抗しうるものは、材端の曲げモーメントＭ1とＭ2だけであり、曲げモーメントとは力のモーメント（偶力）です。従って、

　　Ｍ2－Ｍ1＋Ｓ・L＝0

すなわち、

　　Ｍ2－Ｍ1＝－Ｓ・L　　　(1)

でなければなりません。よって、Lを変化させて考えれば明らかなように、「曲げモーメントＭは、直線勾配を持つよね」という話になります。

　ここでのミソは、鉛直力の釣り合い条件の要請で、

　　・せん断力は、回転力を生じさせてしまう事．
　　・その結果、曲げモーメントとせん断力は連成する．

この2点です。

　曲げモーメントとせん断力が連成する事がわかってしまうと、「じゃあ、一般の場合はどうなのさ？」と話は発展します。例えば集中荷重でなく、梁全体に分布荷重が載っかるような場合です。

　そのような場合、(1)のようなやり方では、とても不便なのがすぐわかります。そこで微分の考えが登場します。

　　・L→dx→0と、ぎゅ～っと縮めて考えれば、曲げモーメントは常に直線勾配だよね？．
　　・直線勾配なら、いつでも(1)だよね？．
　　・それが微分の言ってる事だよね？．

・・・です(^^)。

　実際に(1)と「同じ」計算をすると添付図のようになり、dM/dx＝－Ｓ(x)が導かれます。

　　・曲げモーメントが金太郎飴にならないのに釣り合う原因は、dM/dx＝－Ｓ(x)に尽きるのね．

・・・と、自分は納得しました。

お礼

ありがとうございます。
そこそこ理解してから書き込みしようと思っていたら
インフルエンザに掛かってしまい
質問自体を忘れてしまっていました。
すみません。

dM/dx＝－Ｓ(x)
ですか。
微分積分はあまり詳しくないのですが
この式は材端モーメントをスパンで割ったのが
せん断力ってやつと同じ考え方ですね。
つまりモーメントをせん断力の遇力で抵抗している
と言う理屈から部材は静止しているってやつですね。
^^;
これってもしかして微小変形理論が
イメージの邪魔をいているのか・・・
今の自分ではやっぱ理解できませんです^^;