アインシュタイン規約の具体的な演算について

質問

岩波書店の現代物理学叢書「電磁力学」を読んでおります。§7.2特殊相対性理論のところに、計量テンソルを含んだ計算式がありまして、その式がアインシュタインの規約にもとづく(Σ記号を省略した)表現で書いてありますので、なぜそうなるのか理解できずに困っております。ここには数式は正確に表現できませんので、添付資料に詳細を書きますので、具体的に分かりやすく解説していただきたく、よろしくお願いいたします。

回答No.2

heboiboro · ベストアンサー

> 回答いただいた趣旨のことは理解しているつもりで、その結果は
> a^0_λa^0_ρ-a^1_λa^1_ρ-a^2_λa^2_ρ-a^3_λa^3_ρ
> となるように思うんですが、これが何故　g_λρと等しいのかが分からないんです。
たとえば λ=ρ=0 のとき、
a^0_0a^0_0-a^1_0a^1_0-a^2_0a^2_0-a^3_0a^3_0
= γ^2 - 0^2 - 0^2 - (-γβ)^2
= γ^2 (1-β^2)
ここで、γの定義が γ=1/√(1-β^2) ですので、γ^2(1-β^2) = 1 となります

他にたとえば λ=0, ρ=1 だったら、
a^0_0a^0_1-a^1_0a^1_1-a^2_0a^2_1-a^3_0a^3_1
= γ*0 - 0*1 - 0^2 - (-γβ)*0
= 0
となります

以上のように、基本的には各成分計算していけば、それぞれ g_λ_ρ に等しいことが分かると思います
ただやはり見通しが悪いので（もちろん実質的には同じことですが）行列の掛け算で考えたほうがすっきりする気がします

お礼

何度も解説いただきありがとうございました。
そういうことですね。
　λ、ρの全ての組合せについて
検討してみようと思います。

ただ、行列の積として計算すると、全く異なった
行列になったように思いますが・・・。

ありがとうございました。