高校数学の問題です

質問

logxY＋2logyX＜3を満たす（x.y）の範囲を図示せよ。

という問題が高校の宿題で出されたのですが、解答の仕方が分かりません。

どなたか教えていただけないでしょうか？

回答No.3

ereserve67 · ベストアンサー

ANo.2です．

ほとんど使わないグラフ描画ソフトが役に立ちました．

回答No.2

ereserve67

真数と底の条件より

0<x<1,x<1
0<y<1,y<1

不等式を変形して，

（☆）log_x(y)+2log_x(x)/log_x(y)<3

t=log_x(y)≠0とおくと，

（★）t+2/t<3

よって★にt^2=(log_x(y))^2>0をかけて

t^3+2t<3t^2
t^3-3t^2+2t<0
t(t^2-3t+2)<0
t(t-1)(t-2)<0

これの解は

t<0,1<t<2⇔log_x(y)<log_x1,log_x(x)<log_x(y)<log_x(x^2)

0<x<1のときy>1,x>y>x^2

x>1のとき(0<)y<1,x<y<x^2

言葉で言うと，x>0,y>0（第1象限）において，

・2直線x=1,y=1で第1象限を分割すると，(1,1)を基準に左上と右下の部分．
・直線y=xと放物線y=x^2で囲まれた部分．

回答No.1

alice_44

とりあえず式中に log_X(Y) と log_Y(X) が現れることから
真数条件により Y>0, X>0。後は、t = log_X(Y) と置くと、
原式は t + 2/t < 3 と書けるから、両辺に t を掛けて
(t>0 かつ t^2+2<3t) または (t<0 かつ T^2+2>3t)。
二次不等式を解けば t の範囲が判るので、X^t = Y のグラフが
通る領域を図示すればよい。