- ベストアンサー
積分
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
#2さんの解法と同じですが・・・ f(x)をaからbまでxについて積分するのを ∫[a,b]f(x)dx と表すことにします。 -∫[3π/4,π/4](cos2t)(cost)'dt =∫[π/4,3π/4](2(cost)^2-1)(cost)'dt =∫[π/4,3π/4](2(cost)^2(cost)'-(cost)')dt =[(2(cost)^3)/3-cost][π/4,3π/4] あとの計算はお任せします。 F(x)=∫f(x)dxとすると ∫(f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))+C となります。g(x)=uと置換すればすぐに証明できます。
その他の回答 (2)
倍角公式を使って cos2t=2(cost)^2-1 ∫{2(cost)^2-1}(cost)'dt 中カッコを展開して考えてください。 逆に答の式を微分してみると式のつくりが分かりやすい かもしれません。 わかりにくければ展開しないで cost=x という置換(というかxに戻すことになりますが) をしてみてください。
お礼
ヒント、ありがとうございます。解いてみます。
- meiv
- ベストアンサー率40% (2/5)
ぱっと見の形は、ti-zuさんが出された式から部分積分法とコサインの半角の公式を使っていく感じだと思うのですが・・・間違っていたらすみません；その方法で出たら、回答させていただきますね。
お礼
すみません。有難うございます。
関連するQ&A
- 積分のやり方について
下記の3問で解き方、考え方を教えてください。 (1) x=cos 2t, y=3sin t をx軸のまわりに回転してできる回転面の 面積 (0≦t≦π/2) (解答は49/4π) S=2π∫(0～π/2) y √((dx/dt)^2+(dy/dt)^2) dx で√内の処理がわかりません。 (2)曲線 x=tan t, y=sin t + 1 とx,y軸と直線x=1とで囲まれた図形の面積 (0≦t≦π/4) 解答は√2 S=∫(0～π/4) (sin t + 1)(tan t)' =∫(0～π/4) sin t + 1/(cos t)^2 ここから先で(cos t)^2を 変形したりしましたが答えがあわずに つまずいてます。 (3)∫(x^2- 2x + 3)/(x - 2)^3 dx 解答は log|x - 2| - (2/x - 2) - (3/2(x - 2)^2) 部分分数分解でやりましたがうまくできません。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学IIIの積分の面積の問題です。
媒介変数tを用いてx=t^2,y=-t^3+4t^2-5t+3(0≦t≦2)で表されるxy平面上の曲線Ｃとx軸、y軸および直線x=4で囲まれた図形Ｄをy軸の周りに一回転させてできる立体の体積Ｖを求めよ。という問題で、解答にV=∫0→4(2πxy)dx=368/21π と書かれていたのですが、∫の部分の式の意味がわかりません。どういう意味か教えてもらいたいです。あと、解答では媒介変数を消去していたのですが、それを残したまま計算することは可能ですか？もし、可能な場合は立式の部分だけ教えてもらいたいです。よろしくお願いします。 あと∫0→4の意味は積分区間が0から4ということです。パソコンでうまく表現できなかったので、そのように表現しました。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 媒介変数表示の2重積分の問題です
媒介変数表示の2重積分の問題です 曲線C x＝θ＋sinθ y＝1＋cosθ （－π≦θ≦π） Cとｘ軸で囲まれる領域をDとすると 面積 ∬D dxdy についてです。 式がサイクロイドと似てたので、dy/dxをθで書き直したりしましたが、解答には結びつきませんでした・・。 これはまずｙをｘの関数としてあらわす必要があるのでしょうか？ その計算もちょっとできないままなのですが・・。どうかそれも含めてご教示お願いします・・。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分についての質問！！お願いしますっ！！
積分は面積をどのように細分化しても求められると習い、y=x^2の(0≦x≦1）におけるx軸と囲む面積を色々な方法から求めるように言われていて、 (1)∫ydxの場合 (2)∫（1-x）dyの場合 (3)y=xに平行な直線で分割して、y=xとy=x^2ではさまれる面積を求め、底辺１、高さ１の三角形の面積から引く場合 ここまではできました。 (4)についてしつもんです。(3)が出来るならちょっとめんどくさいけどやってみて大変さを味わっておこうと思ったのですが、うまくいかず、もやもやしているので教えてください。 (4)ｙ=-xに平行な直線を用いて分割していき、y=xとy=x^2ではさまれる面積を求め、底辺１、高さ１の三角形の面積から引く場合 まず、ｙ=-x+t（tは変数）として、この直線と、y=xとy=x^2での交点間の距離をL（ｔ）として 求める面積S=1/2-2∫｛0～１｝L（t）dt/(√２) で立式しましたが、最後にどうしても√５が残り、答え1/3と一致しません。 何がいけないのでしょうか？ 教えてください。宜しくお願い致します。 尚、y=-x+tとy=x^2の交点の座標は( 1/2*(-1+√（１+４ｔ） , 1/4*(-1+√（１+４ｔ）＾２) L（ｔ）=（-1-t+√（1+4t））/（√2） となっています。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 媒介変数表示が表す曲線が囲む面積について
媒介変数表示が表す曲線が囲む面積について求めたく、 (1)x=cost,y=sin2t 答、8/3 (2)x=cos^3*t,y=sin^3*t 答、3π/8 0<=t<=2π になります。 S=∫y*dx/dt dt を用いて解こうにも (1)は∫sin2t*(-sint)dt から進めず、 (2)は∫sin^3*t*(-3cos^2t*sint)dt から進めず困っています。 解き方分かる方教えていただけないでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 媒介変数を用いた積分
媒介変数tを用いて、 x=cos2t y=tsint (0≦t≦2π) と表される曲線が囲む領域の面積を求める問題です。 いつも見慣れている問題のように、 S=∫ydx (インテグラルは0から2π) dx=-1/2sin2tdt と置いてやりましたが、答がマイナスになってしまいます。 どのように、解答の指針を立てたらよいでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 媒介変数表示の曲線の面積について
媒介変数表示の曲線で囲まれた面積は媒介変数で変数を微分し置換積分で面積を求めますが、媒介変数を消去した式が関数でないものについて解法の確認をしたいです 変数をx,y、媒介変数をt(α≦t≦β) x,yはtの関数 x,yの式をtで微分 xの増減が変わるtの値γを求める x,yの方程式を関数y1=y(α≦t≦γ),y2=y(γ≦t≦β)に分ける y1とy2の上下関係から積分の式を立てる xをtの式で置換 y1,y2をyに戻す…A yもtの式で置換 積分 だいたいこんな流れですがAでyに戻せる理由がわかりません yはxに対しては区間によっては関数ではないが、tに対しては関数であるから、という理解で大丈夫でしょうか また、∫内に(dx/dt)dtのようにdxとdtがある場合、積分区間はあくまでdtのような単体である方によるものと考えるのですか それと、媒介変数表示ですでに関数でない場合（があるのかわからないのですが）は上記の解法も使えないということになりますか というかそもそも置換積分は特に何も考えずにtとかで置換してしまってもいいのか？？？と沼にはまっています かなりとばして書いてしまいました 誤用や誤認識があったらご指摘お願いします 数三についての質問ですが範囲外の知識の回答でも構いません 回答お願いします
- 締切済み
- 数学・算数
- 積分について教えてください。
積分の問題をしているのですが、どうしても下の５問がわかりません。 できるだけ詳しく解答してほしいです。よろしくお願いします。 (1) Y＝X＾２+４X－３とX軸で囲まれた面積を求めるには？ (2) Ｙ＝√Ｘと直線Ｙ＝Ｘで囲まれた面積を求めるには？ (3) Ｙ＝３Ｘ＾２－Ｘ＾３とＸ軸で囲まれた面積を求めるには？ (4) Ｙ＝６Ｘ－Ｘ＾２とＹ＝Ｘ＾２で囲まれた面積を求めるには？ (5) Ｙ＝Ｘ（Ｘ－２）（Ｘ－３）とＸ軸で囲まれた面積を求めるには？
- 締切済み
- 数学・算数
- 積分計算
積分の計算をしたのですが 解答と違うのでどこが違うか指摘をお願いします 問題 ∫dx/√（（ｘ－１）^2-1) （範囲は２から４）・・(1) 解答では (1)＝log|x-1+√（ｘ（ｘ－２））| となるので log|x-1+√（ｘ（ｘ－２））|＝log(3+2√２) そして自分の回答 x-1=1/costとおいて ｔの範囲が０からα（ただしcosα＝1/3 sinα=2√2/3） dx=(tant/cost)dt （ｘ－１）^2-1=(1/cos^2t)-1=tan^2t よって ∫(1/tant)(tant/cost)dt=∫(1/cost)dt=∫(cost/(1-sin^2t))dt ここで sint=uとして uの範囲が０から2√2/3 du=costdt ∫(1/1-u^2)du=1/2∫(1/1+u^2)+(1/1-u^2)du =1/2log(1+u)(1-u) =1/2log1/9 となってしまします よろしくお願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
有難うございます。答えが出ました。置換した方が早かったです。