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1次元複素多様体は何故リーマン面?
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- catalina2012
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- kabaokaba
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あー・・・定義が錯綜してますよ まず，複素多様体の定義はそれでOK そして，一次元複素多様体のことをリーマン面ということが多いです． 一方，話がややこしいことに log(z)とかz^{1/2}のような多価関数にでてくるあの「面」も リーマン面というわけですが， こっちのほうが定義がちょっと曖昧ですな． まず，f(z)=z^{1/2}の「定義域」を表す，Cから原点を除いて 二枚の複素平面を「重ねた」あの図形を絵に描いてみてください． 数式にするのは後回し． イメージがやっかいなら解析接続するときによくでてくる 円板が連なるようあのイメージを考えてください． あの円板の一つ一つが局所座標系です．座標はまあ， ほとんど平行移動みたいなものでいいでしょう． で，位相がずれるあたり（一枚目の複素平面から二枚目，二枚目から一枚目にうつるあたり）は 例えば，偏角を2πで割った余りを考えるくらいでずらすして座標を考えるといいです ＃イメージとしてはトーラスの局所座標系を考えるのに似ている こんな風に考えると， 「多価関数のリーマン面」が「一次元複素多様体」であることはほとんど自明です． こつは「大きな局所座標」を考えるのではなく， 「小さな局所座標とその座標変換」を考えることです． ちなみに，「z^{1/2}のリーマン面」はCでもC∪Cでもないですよ． Cを二重に被覆してる空間，まんまの名前ですけど「被覆空間」ってやつです
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