[数学 平面図形]次の問題の解答解説をお願い

質問

次の問題の解答解説をお願いします＞＜

xy平面における次の問いに答えよ。
(1) y軸上の点 (0, α)を中心とする半径r (r >0) の円と、直線 y = 2x+bが共有点をもたないための条件を求めよ。
(2) 各整数 n に対して、 y軸上の点 (0, n) を中心とする半径r (r > 0) の円をSnとする。どの Sn とも共有点をもたない傾き 2 の直線が存在するような r の範囲を求めよ。

回答No.2

ereserve67 · ベストアンサー

(1)円の中心(0,α)と直線2x-y+b=0の距離がr超

|2・0-α+b|/√{2^2+(-1)^2}=|b-α|/√5>r

|b-α|>√5r・・・(答)

(2)S_nはｙ軸上に等間隔に並ぶ．任意の2つの円位置関係はS_0とS_1の位置関係に同じである．したがってS_0とS_1の円の間に挟まれる傾き2の直線が存在すればよい．

S_0：原点中心，半径rの円
S_1：中心(0,1)，半径rの円

直線がこれらの円の間にあるためにはまず直線のy切片について

0<b<1　（☆）

またS_0,S_1の中心と直線の距離がr未満だから(1)より

|b|>√5r⇔b>√5r
|b-1|>√5r⇔1-b>√5r

∴√5r<b<1-√5r　（★）

☆，★を満たすbが存在するためには，r>0だから

√5r<1-√5r∴0<r<1/(2√5)=√5/10・・・（答）

回答No.1

gohtraw

（１）
（０、α）と直線ｙ＝２ｘ＋ｂとの距離がｒよりも大きければ問題文の共有点は存在しないので、点と直線の距離の公式を使えば宜しかろうと。

（２）隣り合うＳｎ同士が接したり、交わったりしていると題意を満たす直線はありえないので、まずｒ＜０．５は必要条件。
　次に、問題分の直線をｙ＝２ｘ＋ｃとでもおいて、この直線が（０、ｎ）および（０，ｎ＋１）のいずれからもｒより大きな距離にあることを式にし、それを満たす実数ｃが存在する条件を求めればいいのかなと。実際にはＳｎの半径は全て等しいのでまずｎ＝０の場合でやってみて、ｎが変わっても同じという方向なのかな？あるいは図の対称性から、ｎ＝０の場合だったらｃ＝０．５（つまり（０，０）と（０，１）の中点を通る直線だということ）としてもよいかも。