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有理数体の拡大次数について
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「正確にわかるか」と言われたら, それは無理. ただし, ある程度なら想像できる. 例えば, もともとの Q(√a + √b) を考えると, 拡大するために使った √a + √b は代数的数です (√a, √b はどちらも代数的数). したがって √a + √b を解の 1つとする代数方程式が存在し, その次数が拡大次数になります (のはず: http://hooktail.sub.jp/algebra/ExtensionField/ にはそんな感じで書いてある). で「√a + √b を解の 1つとする代数方程式」の次数を考えるんだけど, 平方根があることから「符号を逆にした片割れ」の存在が想像できます. つまり, √a に対して -√a があるはずです. ということで個々の平方根に対して「符号を逆にした片割れ」を考えると √a + √b, -√a + √b, √a - √b, -√a - √b の 4通りが得られるので, 結局「√a + √b を解の 1つとする『4次』代数方程式」が見つかります. 本当は最小性も言わなきゃならないんだけど, それはパス. というのがわりときちんとした方針. 大雑把には 「平方根を消すためには 2乗しなきゃならない」→「2個の平方根があったら 2乗を 2回しないとだめ」→「4乗の項が出てくる」→「4次方程式」 という流れです. 当然ですが, 3乗根があったら (3乗しないと消えてくれないので) 3次式が出てきます. それでもって Ｑ(√a + √b + √c) を考えると, 一般には 8次の拡大体になるはずです. もちろん, もっと次数が低いこともあります (c = ab だと 4次に落ちる).
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- Tacosan
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「(√a + √b)^4 が p + q(√a + √b) + r(√a + √b)^2 + s(√a + √b)^3 という形で表現できる」ことに気づけば簡単なのでは? つまり, (Q係数) 4次方程式の解 (の 1つ) だからです.
補足
回答ありがとうございます． 考え方として，この場合，(√a + √b)^4 が，３乗までの式で作れることを証明すればいいということですか？ 式を展開し，pqrsの適当な値を求めるのは，できると思いますが， それだと，問題の度に，適当な次数を予想し，算出しなければならず， 例えば，Ｑ(√a + √b + √c)だと，次数をどうすればいいのか，全く思いつきません． （Ｑ(√a , √b , √c)の場合は，理解できるのですが，） Tacosan様のように，気づくには，なんらかの法則を理解している必要があるのでしょうか？
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お礼
度々の回答ありがとうございました。 理解はできたとは、まだ、いえませんが、解き方の方針はわかりました。