図形と計量（空間図形の応用）

質問

「図のように」Aから水平距離で1000m離れてBがある。
その2点から見える山頂Cは、Aの真北にあり、
AからCを見上げる角度は水平面から30度であった。
また、Bから山頂Cは北から30度東側の方向に見え、
Cを見上げる角度は水平面から45度であった。
山頂の高さはAを通る水平面から何mか。

実際には、「図」が掲載されています。
しかし、図と文章の意味がまるで一致しないのです。

「水平距離」「真北」「水平面」という言葉を
どのように考えればいいかわかりません。

考え方を教えていただけませんか。

回答No.4

info22_

図を描き直して見ました。
これで分からないでしょうか？

山頂の高さをhとすると
△BCHは　∠BHC=90°,∠CBH=45°=∠BCHより　直角二等辺三角形。
∴BH=CH=h

△ACHは ∠AHC=90°,∠CAH=30°, ∠ACH=60°より AH=CHtan60°=h√3

△ABHで
BD//AHより ∠AHB=∠DBA=30°
BH=h, AH=h√3, AB=1000 (m)
余弦定理より
1000^2 = h^2 +3h^2 -2√3 h^2 cos30°
1000^2 = h^2
h>0より山頂の高さhは　∴h=1000 (m)

回答No.3

kagakusuki

「真北」とは点Aから点Hに向かう方角です。
　「点Aを通る水平面」とは、何処で標高を測っても点Aと同じ標高となる様な平面です。
　「点Aから水平距離で1000m離れて点Bがある」という事は、点Bから「点Aを通る水平面」に向かって垂直に線を引き、「その線が『点Aを通る水平面』と交わる点」と点Aとの間距離の事です。

　厳密に考えますと、点Aと点Bとの間の水平距離は1000mである事が明記されていますが、点Aと点Bの標高が同じであるとは限りませんから、点Aと点Bとの間の直線距離は不明という事になりますし、点Aと点Bの標高が異なっていた場合には、∠BHCの角度も90°ではない事になりますから、点Bと点Hの間の距離もhではなくなり、結局、情報不足のため、山頂の高さを求める事は出来ないという事になります。
　まあ、これはちょっと意地の悪い考え方かも知れませんので、取り敢えず、AとBの標高が同じであるものと仮定した上で話を進める事に致します。

　点Aと点Bの標高が同じであるとしますと、∠AHCが90°なのですから、∠BHCもまた90°という事になります。
　∠BHCが90°で∠CBHが45°なのですから、△BCHは直角二等辺三角形という事になりますので、直線BHと直線CHの長さは等しい事になり、「直線BHの長さ」=hである事になります。
　又、∠AHCが90°で∠CAHが30°なのですから、

「直線AHの長さ」:「直線CHの長さ」=√(3):1

ということになりますので、直線AHの長さは√(3)hという事になります。
　又、点Bから山頂Cは北から30°東側の方向に見えるという事は、点Bから始まって直線AHに平行な半直線を、図においては右上の方向に引いた場合、その半直線と直線BHに挟まれた角度は30°という事になり、平行線の同位角は等しいのですから、∠AHBもまた30°という事になります。

　今仮に、点Bから直線AHに向かって垂線を引いた時に、その垂線と直線AHの交点を点Dと呼ぶ事にします。
　∠AHC=∠BDH=90°，∠CAH=∠BHD=30°なのですから、△ACHと△BDHは合同な三角形という事になり、△ACHの短辺である直線CHと、△BDHの斜辺である直線BHの長さが、共にhで等しいという事は、

「直線AHの長さ」:「直線DHの長さ」=「△ACHの長辺の長さ」:「△BDHの長辺の長さ」
=「△ACHの斜辺の長さ」:「△BDHの斜辺の長さ」
=「△ACHの斜辺の長さ」:h
=「△ACHの斜辺の長さ」:「△ACHの短辺の長さ」
=2:1

という事になりますから、点Dは直線AHの中点という事になります。
　点Cから直線AHに向かって引いた垂線の足が、直線AHの中点であるという事は、△ABHは直線AHを底辺とする二等辺三角形であるという事になりますから、直線ABと直線BHは長さが等しいという事になり、直線BHと直線CHは長さが等しいのですから、直線ABと直線CHは長さが等しいという事になりますので、直線ABの長さは1000mという事になります。

回答No.2

PC98

そのまんまですが。
水平距離は地形の起伏などを考慮しない、2点間の距離です。
真北も地図と同じように、平面で見たときに上にあるということ。
水平面に至っては文字通りです。

別々に考えてください。
AとCの関係は、Cの真下の点をDとすると、
ACを斜辺とし、Dが直角の三角形ができます。
また、BからCを見上げた時の角度が45度なので、
BCを斜辺とし、Dが直角の二等辺三角形ができます。
また、Bから見てCは30度東（＝右）にあり、DはCの真下なので、
平行線の錯角を利用すると、∠ADC＝30度になります。

ここで、AD=a,BD=bとおくと、それぞれの三角形から、
CD=a/√3＝b/√2となります。また、三角形ＡＤＢで余弦定理から、
1000＾2＝a^2+b^2-2abｘcos30°となり、また、b=a√2/√3を代入すると、
1000＾2＝a^2x5/3-2x(a^2x√2/2)=a^2x(5-√2）/3
3/(5-√2）1000＾2＝a^2
a=1000x√3/√（5-√2）となり、CD=a/√3ですから、
ＣＤ＝1000/√（5-√2）です。詳しい数字は自分で計算してください。

補足

図を添付しました。
答えは、h=1000なのです。
また、どうして、hと√3hとなるかすらわかっていません。
よろしくお願いいたします。

回答No.1

asuncion

＞しかし、図と文章の意味がまるで一致しないのです。

状況を確認したいので、その図を添付することは可能でしょうか。
今のままでは、おっしゃっている「図と文章の意味がまるで一致しない」ことを
質問者さん以外の人は確認しようがないのです。

補足

図を添付しました。よろしくお願いいたします。