至急 2次関数 最大・最小

質問

関数ｙ＝２ｘ2乗－４Kｘ＋１（０≦ｘ≦４）の最大値・最小値を求めなさい。
但しKは定数とする。

上記の問題の解答・解説を教えてください。
平方完成はできるので場合分けを重点的に教えてくださると嬉しいです。

ご回答よろしくお願いいたします。

回答No.1

Dr-Field · ベストアンサー

平方完成できるのであれば、ｙ＝2(x-k)^2－2k^2+1となり、この関数をグラフにすれば、座標（k、-2k^2+1）を頂点として、下に凸まではわかると思います。あとは、kがどの値を取るか？が問題となります。
ちょっとくどいかもしれませんが、私自身がわかりやすいような場合分けをしてみます。

(1)4≦kのときは、軸は定義域よりも右側に来ますから、最大値はx=0の時のy=1、最小値はx=4の時のy=-16k+33
(2)2＜k＜4の時は、軸が定義域の中のやや右側に来ますから、最大値はx=0の時のｙ＝1、最小値はx=kの時のy=-2k^2+1
(3)k=2の時は、軸が定義域のちょうど真ん中に来ますから、最大値はx=0か4の時のy=１、最小値はx=k=2の時のy=-7
(4)0＜k＜2の時は、軸が定義域の中のやや左側に来ますから、最大値はx=4の時のy=-16k+33、最小値はx=kの時のy=-2k^2+1
(5)k≦0の時は、軸が定義域よりも左側に来ますから、最大値はx=4の時のy=-16k+33、最小値はx=0の時のy=1

回答No.2

ferien

＞関数ｙ＝２ｘ2乗－４Kｘ＋１（０≦ｘ≦４）の最大値・最小値を求めなさい。
＞但しKは定数とする。
ｆ（ｘ）＝２ｘ^2－４ｋｘ＋１とおくと、グラフは下に凸な放物線です。
＝２（ｘ－ｋ）^2－２ｋ^2＋１
より、軸ｘ＝ｋ
最小値については、軸ｘ＝ｋとｘの範囲（０≦ｘ≦４）の位置関係で分けます。
軸がｘの範囲の左にあるとき、ｋ＜０
このとき、最小値ｆ（０）＝１
軸がｘの範囲の中にあるとき、０≦ｋ＜４
このとき、最小値ｆ（ｋ）＝－２ｋ^2＋１
軸がｘの範囲の右にあるとき、４≦ｋ
このとき、最小値ｆ（４）＝３３－１６ｋ
最大値については、ｘの範囲の端の値（ｘ＝０，４）についてのｆ（ｘ）の値を求め、
ｆ（０）＝ｆ（４）になるときのｋの値を求めます。
３３－１６ｋ＝１より、ｋ＝２　これを基準にして場合分けします。
ｋ＜２のとき、ｆ（０）＜ｆ（４）だから、最大値ｆ（４）＝３３－１６ｋ
２≦ｋのとき、ｆ（０）≧ｆ（４）だから、最大値ｆ（０）＝１

以上をまとめると、
ｋ＜０のとき、最小値１，最大値３３－１６ｋ
０≦ｋ＜２のとき、最小値－２ｋ^2＋１，最大値３３－１６ｋ
２≦ｋ＜４のとき、最小値－２ｋ^2＋１，最大値１
４≦ｋのとき、最小値３３－１６ｋ，最大値１

ｙ＝ｆ（ｘ）のグラフ（軸ｘ＝ｋの下に凸な放物線）を簡単に描いて、
ｘの範囲（０≦ｘ≦４）を軸の左右に動かして見れば分かります。