立方体の線分の距離

質問

(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1),((1,1,1)を含む立方体があります。
この内部に2点(x1,y1,z1), (x2,y2,z2)があり、
その直線の立方体内部の線分の長さを求めたいと思っております。
直線が通過する面や点を求めなければなりませんが、
なかなかうまくいきません。
高校、大学数学レベルの公式でもかまいません。
どなたか、よろしくお願いいたします。

回答No.4

ferien · ベストアンサー

ANo.2です。
＞交点の求め方については、どこで交わるかによって変わってくると思うので、
＞１通りには決められません。
＞（具体的に条件を設定した方が、考えやすいと思います。）

具体的に交わる部分を決めて、交点を求めてみます。
「直線は、上下の面を通るとします。」

2点(x1,y1,z1), (x2,y2,z2)を通る直線の方程式は、
（ｘ－ｘ1）／（ｘ2－ｘ1）＝（ｙ－ｙ1）／（ｙ2－ｙ1）＝（ｚ－ｚ1）／（ｚ2－ｚ1）
……（１）

立方体の各面の方程式は、
上下がｚ＝１，ｚ＝０，左右がｙ＝０，ｙ＝１，前後がｘ＝１，ｘ＝０

求め方は、上面の場合、（他の場合も求め方は同じです。）
求める平面の方程式をａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＋ｄ＝０とおいて、
座標(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1),((1,1,1)を順に代入すると
ｃ＋ｄ＝０より、ｃ＝－ｄ
ａ＋ｃ＋ｄ＝０より、ａ＝０
ｂ＋ｃ＋ｄ＝０より、ｂ＝０　
ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝０は、上で求めたものを満たします。
ａ：ｂ：ｃ：ｄ＝０：０：１：－１より、平面の方程式は
ｚ－１＝０だから、よって、ｚ＝１

（１）の式＝ｔとおくと、
（ｘ－ｘ1）＝ｔ（ｘ2－ｘ1）より、ｘ＝ｘ1＋ｔ（ｘ2－ｘ1）
（ｙ－ｙ1）＝ｔ（ｙ2－ｙ1）より、ｙ＝ｙ1＋ｔ（ｙ2－ｙ1）
（ｚ－ｚ1）＝ｔ（ｚ2－ｚ1）より、ｚ＝ｚ1＋ｔ（ｚ2－ｚ1）
ｚ＝０より、ｚ1＋ｔ（ｚ2－ｚ1）＝０より、ｔ＝－ｚ1／（ｚ2－ｚ1）
ｚ＝０と直線の交点は、
ｘ＝ｘ1＋ｔ（ｘ2－ｘ1）（ｔのところに上の式を代入する）
ｙ＝ｙ1＋ｔ（ｙ2－ｙ1）
ｚ＝０
同様に（１）の式＝ｓとおくと、
ｚ＝１より、ｓ＝（１－ｚ1）／（ｚ2－ｚ1）
ｚ＝１と直線の交点は、
ｘ＝ｘ1＋ｓ（ｘ2－ｘ1）
ｙ＝ｙ1＋ｓ（ｙ2－ｙ1）
ｚ＝１
この２点について距離の公式から、線分の長さを求めます。

他の場合も同じようにできると思います。
（何かあったらお願いします。）

お礼

ありがとうございます。
上下面以外にも側面間などいろいろありすぎて困っております。
他の回答者も参考にしながら考えてみます。

回答No.8

alice_44

ちょい待ち。A No.7 で、求まる？

回答No.7

muturajcp

直線
L={(x,y,z)=(x1,y1,z1)+t(x2-x1,y2-y1,z2-z1)|t∈R}
と立方体の6面
S1={(0,y,z)|0≦y≦1,0≦z≦1}
S2={(1,y,z)|0≦y≦1,0≦z≦1}
S3={(x,0,z)|0≦x≦1,0≦z≦1}
S4={(x,1,z)|0≦x≦1,0≦z≦1}
S5={(x,y,0)|0≦x≦1,0≦y≦1}
S6={(x,y,1)|0≦x≦1,0≦y≦1}
との交点を求めればよい。

n=0とする
k=1～6までS_kに対して以下の処理を繰り返す
(1≦k≦2&x1=x2).or.(3≦k≦4&y1=y2).or.(5≦k≦6&z1=z2)
のときLとS_kは平行だから次のk+1の処理へ飛ぶ
k=1のときt=x1/(x1-x2)
k=2のときt=(1-x1)/(x2-x1)
k=3のときt=y1/(y1-y2)
k=4のときt=(1-y1)/(y2-y1)
k=5のときt=z1/(z1-z2)
k=6のときt=(1-z1)/(z2-z1)
x=x1+(x2-x1)t
y=y1+(y2-y1)t
z=z1+(z2-z1)t
x<0.or.x>1.or.y<0.or.y>1.or.z<0.or.z>1のとき次のk+1の処理へ飛ぶ
(0≦x≦1,0≦y≦1,0≦z≦1のときLとS_kは交点(x,y,z)を持つ)
n=0のとき(xs,ys,zs)=(x,y,z);n=1として次のk+1の処理へ飛ぶ
n=1のとき
d=√{(x-xs)^2+(y-ys)^2+(y-zs)^2}
d≒0のとき同一交点だから次のk+1の処理へ飛ぶ
d>0のとき
線分の長さを
d(=√{(x-xs)^2+(y-ys)^2+(y-zs)^2})
として処理を終わる

お礼

ありがとうございます。
条件文があり、わかりやすいです。挑戦してみます。

回答No.6

ferien

ANo.4です。お礼ありがとうございます。

＞上下面以外にも側面間などいろいろありすぎて困っております。
面の位置が変わったら、面の方程式を変えて計算すればいいので、
面と面の間の線分の計算方法としては、ANo.4の方法でいいような気がします。
立方体の頂点の１つと面の間の線分ならば、もっと簡単です。
試してみて下さい。

お礼

ありがとうございます。
現在、回答していただいた方々を実際に試しているところです。

回答No.5

alice_44

直線がどの面と交わるかを判定する方法を
A No.3 に書いておきました。

お礼

ありがとうございます。
条件が複雑そうですが考えてみます。

回答No.3

alice_44

内部の二点の座標から、それを通る直線を
パラメータ表示します。その際、直線上の点 P を
→OP = (→OA) + t(→AB) と表すと、
t=0 のとき P=A、t=1 のとき P=B となる
パラメータ表示ができます。

直方体の各面(を延長した平面)を方程式で表示しておき、
そこへ直線のパラメータ表示を代入すると、
交点に対応する t の値が求まります。

交点の t は、最大 8 個あります。その中で、
負で一番 0 に近い t が、A に近いほう、
1より大きいなかで最小のtが、B に近いほうの
直方体と直線の交点を表します。

両端が求まれば、あとは、二点間の距離公式です。

お礼

ありがとうございます。
具体的に数値を入れて、試してみます。

回答No.2

ferien

ANo.1です。　補足について

＞立方体内の2点を通る直線の、
＞立方体内の線分の長さです。
立方体と直線の交点を２点求めて、やはり距離の公式だと思います。
交点の求め方については、どこで交わるかによって変わってくると思うので、
１通りには決められません。
（具体的に条件を設定した方が、考えやすいと思います。）

お礼

ありがとうございます。
条件が複雑で困っております。

回答No.1

ferien

＞(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1),((1,1,1)を含む立方体が
＞あります。
＞この内部に2点(x1,y1,z1), (x2,y2,z2)があり、
＞その直線の立方体内部の線分の長さを求めたいと思っております。
ふつうに２点間の距離の公式でいいと思います。
√｛（ｘ2－ｘ1）^2＋（ｙ2－ｙ1）^2＋（ｚ2－ｚ1）^2｝
立方体内部の点なので、０＜ｘ1＜１，０＜ｙ1＜１，０＜ｚ1＜１
(x2,y2,z2)についても同じです。

＞直線が通過する面や点を求めなければなりませんが、
求めなくてもいいと思います。
立方体内部の線分ならば、立方体の面や点は通過しないと思います。

どうでしょうか？

補足

ご回答ありがとうござます。
言葉足らずで申し訳ありません。
立方体内の2点を通る直線の、
立方体内の線分の長さです。
いろいろな条件文がでてきても構いません。
よろしくお願いいたします。