IA数学の問題

質問

x、yの間にx^2-2xy+2y^2=1の関係があるとき、次の式の値の範囲を求めよ。

(1)x

(2)y

(3)x＋y

方針としてはまずどちらか一つの変数を固定するのでしょうか？

わかりやすい解答をお願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

(1)
x^2-2xy+2y^2=1
を y の２次方程式と考えてyの実数条件を使う。
　2y^2 -2xy +x^2-1=0
yの実数条件から判別式D/4=x^2 -2(x^2-1)=2-x^2≧0 ∴-√2≦x≦√2

(2)
x^2-2xy+2y^2=1
を x の２次方程式と考えてxの実数条件を使う。
　x^2-2yx+2y^2-1=0
xの実数条件から判別式D/4=y^2 -(2y^2-1)=1-y^2≧0 ∴-1≦y≦1

(3)
x＋y=kとおいて　y=k-x を
　x^2-2xy+2y^2=1
に代入してyを消去した x の２次方程式に対してxの実数条件を使う。
　x^2-2x(k-x)+2(k-x)^2-1=0
式を整理して
　5x^2-6kx+2k^2-1=0
xの実数条件より
判別式D/4=9k^2 -5(2k^2-1) = 5-k^2≧0 ∴-√5≦k=x+y≦√5
x+yの最小値=-√5のとき　x=-(3/5)√5,y=-(2/5)√5
x+yの最大値=√5のとき　x=(3/5)√5, y=(2/5)√5

[注] xが実数であれば y=k-x の関係から yも実数となります。