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量子力学について
U（a)＝exp[(2πi/h)P・a]のとき <x｜U（a）＝<x+a|となることを示せという問題がわかりません。(Pは運動量演算子 aはパラメータ hはプランク定数） ヒントにU(a)QU(a)^+ =Q+aというのがあり、これを使って両辺の固有値が等しくなることから示そうとしたのですが固有値が同じでも固有ベクトルは同じとは限らないよなと思い、いきずまってしまいました。 どなたか解説していただけないでしょうか。回答よろしくお願いします。
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少し問題を解いていて詰まったところがあるので、どなたかお助けください。ちなみにこの手の計算に関してはまだ初心者です。 ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 自由粒子では、運動量pとエネルギーE=p^2/2m の交換関係が成り立っているので、運動量とエネルギーの同時固有状態 | α(t) > というものが存在することが分かります。 そこで、この固有関数（位置表示＋運動量表示）をブラケットを使いながら求めていきたいのですが、時間発展演算子を使って | α(t) > = exp(-iHt/h) | α(0) > = exp(-iEt/h) | α(0) > のようにまずしておきます。すると、固有関数は、 ψ(x,t) = < x | α(t)> = exp(-iEt/h)< x | α(0) > = exp(-iEt/h) exp(iPx/h) となります。最後の < x | α(0) > は、左が位置の固有状態、右が運動量の固有状態なので、位置と運動量の変換行列になっているということを使いました。 ここで質問なのですが、 < x | α(t)> も左が位置の固有状態で右が運動量の固有状態であることは間違いないと思います。この場合は何故位置と運動量の交換行列が使えなくて、右の時間依存性を取ったもの | α(0) > では使えるのでしょうか？ （使える使えないうより、単にそういう風に計算すると普通に求めた固有関数と合うだけですが） 一応運動量表示の時もあやしいながら書いておきます。 ψ~(p,t) = < p | α(t)> = exp(-iEt/h)< p | α(0) > = exp(-iEt/h)< p | α(0) > = exp((-iEt/h) δ(p - P) 注） ・変数と区別するために t=0 のときの 運動量を P と書きました ・規格化定数書くとごちゃごちゃするので省きました ・こうすると、普通に計算したときの固有関数と合うのですが、何か間違えているかもしれないので、考え方に間違いがあればご指摘ください。 別の方法があればそれも教えていただきたいです。
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【問題】プランクの式 ρ(ν)=(8πν^2/c^3)*[cν/exp(cν/KBT)-1]ではなく レイリージーンズの式 p(ν)=(8πν^2/c^3)*KBT を用いた場合 ステファンボルツマンの式はどんな形になるか導出せよ。 （考えたこと） プランクの放射公式からの導出 黒体放射のプランクの放射公式（1）は、振動数νの関数として、 ρ(ν)=(8πν^2/c^3)*[cν/exp(cν/KBT)-1] c:光速度 h：プランク定数 k:ボルツマン定数 空洞内のエネルギー密度は、全振動数について積分することにより求められるから （途中省略） エネルギー密度と放射強度の関係式I=(c/4)*ρに代入し、 π,k,c,h-は、全て定数であるのでI=σT＾4を得る。 プランクの放射公式からの導出はわかるのですが、 レイリージーンズの式 p(ν)=(8πν^2/c^3)*KBT を用いての（置き換えて）積分計算によりステファンボルツマンの式はどんな形になるかが 分かりません。お願いします。
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