数Iの質問です。

質問

xの関数 y=x⁴+4x²＋2（2－a)x²‐4ax+1 (-4≦x≦2)について、次の問いに答えよ。

(1) t=x²+2x (-4≦x≦2) とおくとき、tの値の範囲を求めよ。また、yをtとaとで表せ。
(2) a=0のとき、yの値の範囲を求めよ。このとき、yを最小になるようなxの値を求めよ。
(3) 0≦a≦1のとき、yの値の範囲をa値を用いて表せ、また、yを最小になるようなxの値をaを用いて表せ。

この解き方を教えてください。

回答No.1

Dr-Field

y=x^4+4x^3＋2（2－a)x^2‐4ax+1　と思いますので、そうと仮定して話を進めます。

(1) t=x^2+2x (-4≦x≦2)　より、x=-1の時、tは最小値-1をとり、x=-4もしくは2の時、tは最大値8をとる。

x^4+4x^3＋2（2－a)x^2‐4ax+1＝x^4+4x^3＋4x^2-2ax^2‐4ax+1=(x^2+2x)^2－2a(x^2+2x)+1より、y=t^2-2at+1と変形できる。

(2) a=0なので、y=t^2+1　但し-1≦t≦8で考えることになるので、1≦y≦65となる。最小のy=1 → t=0 → x^2+2x=0 → x=0,-2

(3)ｙ＝t^2-2at+1＝(t-a)^2+(1-a^2)より、放物線の頂点はt=aのとき、y=1-a^2をとる。
0≦a≦1より、放物線の頂点は必ず第1象限に入る。かつ、-1≦t≦8
故に、最小値は頂点、すなわち、t=aのとき、y=1-a^2、最大値はt=8の時、y=65-16aをとるから、1-a^2≦y≦65-16a
t=a → x^2+2x=a → x=-1±√(1+a)